Computación ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\rango

Question

Computación ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\rango

Física
operadores
integral de trayectoria
mecánica cuántica
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

Trajano

dado hamiltoniano $H=\frac{P^2}{2}+\frac{\omega^2}{2}Q^2$ , calcular $\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle$ , dónde $T$ es el ordenamiento temporal del producto, $|0\rangle$ es el estado fundamental. Ahora configura $\hbar=m=1$ y definir

q (t) = {mi}^{i H t} q {mi}^{- i H t}

$Q(t)=e^{iHt}Qe^{-iHt}$ y

q | q ⟩ = q | q ⟩

$Q|q\rangle=q|q\rangle$

Aparentemente, una pista para esta pregunta es que $H|n\rangle=\left(n+\frac{1}{2}\right)\omega |n\rangle$ y

q = \frac{1}{\sqrt{2 ω}} (a + a^{†})

$Q=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^{\dagger})$

Ahora no puedo ver cómo abordar esta pregunta. La forma $\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle$ sugeriría usar la fórmula de Feynman

⟨ 0 | T [q (t_{2}) q (t_{1})] | 0 ⟩ = \frac{1}{Z} \int D q \underline{q} (t_{1}) \underline{q} (t_{2}) {mi}^{i \int_{\infty}^{\infty} d t L (\underline{q}, \underline{\dot{q}})}

$\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle=\frac{1}{Z}\int Dq \underline{q}(t_1)\underline{q}(t_2)e^{i\int_{\infty}^{\infty}dt L(\underline{q},\underline{\dot{q}})}$ pero esto corresponde a la sugerencia, ni puedo ver a dónde ir con esto.

¿Cuál es el enfoque correcto para esta pregunta?

Meng Cheng

Primero debes averiguar qué es

Q (t)

$Q(t)$ explícitamente en términos de

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ , utilizando la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Respuestas (1)

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Primero debes averiguar qué es $Q(t)$ explícitamente en términos de $a$ y $a^\dagger$ , utilizando la ecuación de movimiento de Heisenberg.

leandro m · Answer 1

No, la manera fácil de hacer esto es no usar esa fórmula, que por cierto es parte de una formulación completamente diferente de la mecánica cuántica. El $q$ arena $\dot{q}$ Los s dentro de la integral de trayectoria son trayectorias clásicas con valor de número c, cuya interferencia dará el contenido cuántico en las funciones de correlación. El problema que se le pide que resuelva parece estar dirigido a enseñar el formalismo canónico , donde los observables se escriben en términos de operadores de creación y aniquilación. La diferencia entre las dos perspectivas es algo que me confundió bastante cuando estaba aprendiendo QFT por primera vez.

Ya tienes todo lo que necesitas para responder a la pregunta. Tal vez sea más fácil si inicialmente calculas $\langle 0 | T[Q(0)(Q(0)]|0\rangle$ : entonces verás bastante claro que escribir $Q$ en términos de operadores de creación y aniquilación hace que el elemento de la matriz sea fácil de calcular.

Luego, para hacer el caso general, debe tratar con el producto ordenado por tiempo, lo que significa que tendrá que dividir la expresión en dos "casos", eso está perfectamente bien, o puede usar las funciones de paso de Heaviside. Independientemente de lo que elija hacer, tendrá un hamiltoniano en la exponencial, pero la acción del hamiltoniano en los estados propios de los números es simple y podrá encontrar la respuesta mediante cálculo directo.

Lo siento, estoy confundido acerca de las dos perspectivas. ¿Podría dar más detalles sobre esto? No sabía que había dos perspectivas.
Para que quede claro, esta diferencia es principalmente importante para la teoría cuántica de campos, que es lo que supongo que estás aprendiendo. En la mecánica cuántica, la integral de trayectoria es menos útil para los cálculos, por lo que un mecánico cuántico de mentalidad práctica nunca tendrá que preocuparse por ella.
La esencia de esto es: la integral de trayectoria muestra trayectorias "clásicas", en el sentido de que tienen bien definidas $x$ y $\dot{x}$ en todo momento. Pongo comillas porque, por supuesto, las trayectorias no obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento. De hecho, pueden incluso probar caminos "imposibles" como aquellos para los que $\dot{x}$ excede la unidad. Eso está bien, porque esos caminos siempre interfieren destructivamente.
El contenido mecánico cuántico de la teoría se obtiene calculando funciones de correlación de acuerdo con las fórmulas de la integral de trayectoria. Es la ponderación de diferentes caminos por diferentes fases lo que asegura que el formalismo dé la respuesta correcta. Para reiterar, nada dentro de la integral de trayectoria es un "operador". $x$ y $\dot{x}$ son solo funciones con valor de número c que se están integrando.
El formalismo canónico, en cambio, trata $x$ y $p$ como operadores en todo momento. Si desea calcular una función de correlación, debe expresar los operadores en términos de operadores de creación y aniquilación y ver su acción en el estado de vacío. Este es, en cierto sentido, el marco """"verdadero"""" de la teoría cuántica de campos, porque es en esta formulación donde se manifiesta la naturaleza del espacio de Hilbert. Lo que entendemos por "una partícula" no es más que un estado propio del operador numérico, por ejemplo.
Entonces es por eso que tiene expresiones como la última fórmula en su OP: reconoce $Q$ como operador e introduce la integral de trayectoria como una práctica herramienta de cálculo para funciones de correlación (el propagador, en este caso). Puede ser confuso para las personas entender que el $Q$ s en el lado izquierdo son los operadores y el $q$ arena $\dot{q}$ s en el lado derecho son números c, y no muchos libros en realidad afirman esto directamente. Estaba confundido por eso, y parece que tú también lo estabas.

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