Comprobación de algunos trabajos sobre la búsqueda de raíces

OK, tengo la siguiente función de respuesta:

$$H(\omega) = \frac{1-\omega^2 LC}{1+\omega^2 LC - i \omega RC}$$

Quiero encontrar donde se convierte$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Esto debería ser lo suficientemente simple. Primero multiplico todo por su complejo conjugado, lo que me da el valor absoluto al cuadrado, o 1/2:

$$\frac{1-\omega^2 LC}{1+\omega^2 LC - i \omega RC}=\frac{(1-\omega^2 LC)^2}{(1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2} = \frac{1}{2}$$

Entonces quiero resolver para omega. Como esto es un poco feo, multiplico ambos lados por$2((1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2)$y terminar con

$$2(1-\omega^2 LC)^2=(1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2$$ cuyos rendimientos

$$(1-\omega^2 LC)^2= \omega^2 R^2C^2$$

que puedo tomar las raíces cuadradas de ambos lados y convertirlo en un cuadrático

$$(1-\omega^2 LC)= \omega RC \rightarrow 1-\omega RC - \omega^2LC = 0$$

Saco la vieja fórmula cuadrática.$\omega = \frac{RC \pm \sqrt{R^2C^2+4LC}}{2LC}$

En el lado positivo, terminamos con$\frac{2R^2C^2 + 2RC\sqrt{R^2C^2+4LC}+4LC}{2LC}=\frac{R^2C}{L}+\frac{R}{L}\sqrt{R^2C^2+4LC}+2$

y en el lado negativo$\frac{2R^2C^2 - 2RC\sqrt{R^2C^2+4LC}+4LC}{2LC}=\frac{R^2C}{L}-\frac{R}{L}\sqrt{R^2C^2+4LC}+2$

Otro método que se me ocurrió fue tratar de dividir la cuadrática "a mano", es decir, tratar de llegar a alguna raíz cuadrada del coeficiente de omega al cuadrado y la mitad de RC, pero en ese camino está la locura.

Está bien, parece estar bien. Pero me han dicho que la respuesta que debe obtener es$\omega = \frac{1}{RC}$. Así que a) me equivoqué mucho o b) me dijeron mal.

¿Me perdí algo aquí? Esto ni siquiera es cálculo.

EDITAR: mirando dónde me equivoqué: OK Viendo como me equivoqué aquí:

$$2(1-\omega^2LC)^2 = (1+\omega^2LC)^2 + \omega^2 R^2C^2$$

Eso realmente debería ser

$$(2 - 4\omega^2LC + 2\omega^4L^2C^2) = 1 + 2\omega^2LC + \omega^4L^2C^2+ \omega^2 R^2C^2$$

que luego se convierte

$$(1 - 6\omega^2LC + \omega^4L^2C^2) = \omega^2 R^2C^2$$ convirtiendo eso en algo así como un cuadrático

$$1+(6LC-R^2C^2)\omega^2+ \omega^4L^2C^2=0$$

(y reemplazando$u$para$\omega^2$significa que el LHS se reduce a$(1+(6LC-R^2C^2)u + L^2C^2u^2)$

Lo acertamos con la fórmula cuadrática.

$$\frac{R^2C^2-6LC \pm \sqrt{36L^2C^2-12R^2LC^3+R^4C^4-4L^2C^2}}{2L^2C^2}=\frac{R^2C^2-6LC \pm \sqrt{32L^2C^2-12R^2LC^3+R^4C^4}}{2L^2C^2}=\frac{R^2}{2L^2}-\frac{3}{L}\pm \frac{\sqrt{32L^2-12R^2LC+R^4C^2}}{2L^2C}$$

Todavía obteniendo números locos... hmmm.