Normalización de propagadores (integrales de ruta)

I) OP tiene razón ideológicamente hablando. Ideológicamente, la primera eq. de OP.

$$\tag{1} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right| ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Turns out to be ultimately wrong!})$$

es la afirmación de que una partícula que se localiza inicialmente en un evento de espacio-tiempo$(x_i,t_i)$debe con probabilidad 100% estar dentro$x$-espacio$\mathbb{R}$en un momento final$t_f$, ya que nuestro modelo QM no permite la creación o aniquilación de partículas.

Sin embargo, tal noción de probabilidades absolutas del kernel de Feynman$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$no puede mantenerse cuando la ideología tiene que ser convertida en fórmulas matemáticas. Por ejemplo, para el oscilador armónico, uno tiene

$$\tag{A} \left| \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ K(x_f,t_f;x_i,t_i)\right| ~=~\frac{1}{\sqrt{\cos\omega \Delta t}}, \qquad \Delta t ~:=~t_f-t_i,$$

que sólo se convierte en unidad para$\omega \Delta t \to 0$. En última instancia, el problema puede atribuirse al hecho de que no existe una distribución de probabilidad uniforme normalizable en el eje real$\mathbb{R}$, es decir, el$x$-espacio de posición. En general, la primera ecuación de OP. (1) solo se mantiene por tiempos cortos$\Delta t\ll \tau$, dónde$\tau$es una escala de tiempo característica del sistema.

II) Repasemos cómo aparece la normalización en la integral de trayectoria de Feynman a partir de primeros principios. La principal herramienta para determinar el propagador /kernel/amplitud de Feynman$K(x_b,t_b;x_a,t_a)$es la propiedad del (semi)grupo

$$\tag{B} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_m ~ K(x_f,t_f;x_m,t_m) K(x_m,t_m;x_i,t_i).$$

III) De manera equivalente, si identificamos

$$\tag{C} K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~\langle x_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle$$

con una superposición de instantáneos$^1$posición autoestados en la imagen de Heisenberg, entonces eq. (B) se sigue de la (primera de) las relaciones de completitud

$$\tag{D} \int \!\mathrm{d}x ~|x,t \rangle \langle x,t |~=~{\bf 1}, \qquad \text{and} \qquad \int \!\mathrm{d}p~ |p,t \rangle \langle p,t |~=~{\bf 1}.$$

Estos estados propios instantáneos de posición y momento se superponen$^2$

$$\tag{E} \langle p,t \mid x,t \rangle~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{px}{i\hbar}\right].$$

IV) La primera ecuación de OP. (1) es equivalente a la afirmación de que

$$\tag{F} \left| \langle p_f=0,t_f \mid x_i,t_i \rangle \right| ~\stackrel{?}{=}~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}},\qquad(\leftarrow\text{ Ultimately wrong!})$$

debido a la identificación (C) y

$$\tag{G} \langle p_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle ~\stackrel{(D)+(E)}{=}~\int_{\mathbb{R}}\!\frac{\mathrm{d}x_f}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{p_fx_f}{i\hbar}\right] \langle x_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle.$$

ecuación (F) se viola, por ejemplo, el oscilador armónico, donde uno tiene

$$\tag{H} \left| \langle p_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle \right| ~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cos\omega \Delta t}}.$$

V) Por tiempos suficientemente cortos$\Delta t\ll \tau$, se deriva de la formulación hamiltoniana (¡sin introducir factores arbitrarios de normalización/fudge!) que

$$\begin{align} \langle x_f,t_f \mid x_i,t_i\rangle ~\stackrel{(D)}{=}~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~ \langle x_f,t_f \mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid x_i,t_i\rangle \cr ~=~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~\langle x_f,\bar{t} \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid x_i,\bar{t}\rangle\cr ~\approx~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~ \langle x_f,\bar{t} \mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid x_i,\bar{t}\rangle \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar} H(\bar{x},p) \right]\cr ~\stackrel{(E)}{=}~& \int_{\mathbb{R}} \!\frac{\mathrm{d}p}{2\pi\hbar} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(p\Delta x -\left(\frac{p^2}{2m} + V(\bar{x})\right)\Delta t\right) \right]\cr ~=~& \sqrt{\frac{A}{\pi}} \exp\left[-A(\Delta x)^2-\frac{i}{\hbar}V(\bar{x})\Delta t\right], \qquad A~:=~\frac{m}{2 i\hbar} \frac{1}{\Delta t},\cr ~=~&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{i}{\hbar}\left(\frac{m}{2}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}-V(\bar{x})\Delta t\right)\right],\end{align}\tag{I}$$

dónde

$$\tag{J} \Delta t~ :=~t_f-t_i, \quad \bar{t}~ :=~ \frac{t_f+t_i}{2}, \quad \Delta x~ :=~x_f-x_i, \quad \bar{x}~ :=~ \frac{x_f+x_i}{2} .$$

La integral gaussiana oscilatoria (I) sobre el momento$p$se realizó introduciendo las pertinentes$\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$prescripción. ecuación (yo) implica que

$$\tag{K} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+},$$

que a su vez implica la primera ecuación de OP. (1) en el corto plazo$\Delta t \to 0^{+}$. De manera más general, la Ec. (I) implica la primera ecuación de OP. (1) para$\Delta t\ll \tau$.

VI) Nótese que la probabilidad a corto plazo

$$\tag{L} P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~\stackrel{(I)}{\approx}~\frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\Delta t} , \qquad \Delta t\ll \tau,$$

es independiente de las posiciones inicial y final,$x_i$y$x_f$, respectivamente. Para posición inicial fija$x_i$, la fórmula (L) se puede interpretar como una distribución de probabilidad uniforme y no normalizable en la posición final$x_f\in\mathbb{R}$. Esto refleja el hecho de que el estado propio instantáneo$|x_i,t_i \rangle$no es normalizable en primer lugar y, en última instancia, condena la noción de probabilidades absolutas.

VII) Para tiempos finitos$\Delta t$no pequeño, el término de interacción$V$se vuelve importante En el caso general, el determinante funcional típicamente necesita regularizarse introduciendo un límite y contratérminos. Pero la regularización no es la (única) fuente de violación de la primera ecuación de OP. (1), o de manera equivalente, la ec. (F). Más bien es una característica genérica que el$px$elementos matriciales de un operador de evolución unitario

$$\tag{M} \frac{\langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar}\hat{H}\right] \mid x,t\rangle}{\langle p,t \mid x,t\rangle}$$

no es solo un factor de fase lejos de la aproximación de tiempo corto$\Delta t\ll \tau$.

VIII) Ejemplo: Considere el Hamiltoniano Hermitiano

$$\tag{N} \hat{H}~:= \frac{\omega}{2}(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}) ~=~ \omega(\hat{p}\hat{x}+\frac{i\hbar}{2}).$$

Después

$$\begin{align}\frac{\langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar}\hat{H}\right] \mid x,t\rangle}{\langle p,t \mid x,t\rangle} ~=~&1 - \omega\Delta t\left(\frac{1}{2}-i\frac{px}{\hbar} \right)\cr &+\frac{(\omega\Delta t)^2}{2}\left(\frac{1}{4}-2i\frac{px}{\hbar} - \left(\frac{px}{\hbar} \right)^2\right) +{\cal O}\left((\omega\Delta t)^3\right),\end{align}\tag{O}$$

que no es un factor de fase si$\omega\Delta t\neq 0$. Para ver esto más claramente, tome por simplicidad$px=0$.

Referencias:

1. RP Feynman y AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965.

2. JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 1994, Sección 2.5.

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$^1$Los estados propios instantáneos se introducen a menudo en los libros de texto de mecánica cuántica para derivar el formalismo de la integral de trayectoria del formalismo del operador en los casos más simples, véase, por ejemplo, Ref. 2. Nótese que los autoestados instantáneos$\mid x,t \rangle$y$\mid p,t \rangle$son estados independientes del tiempo (como deberían ser en la imagen de Heisenberg).

$^2$Aquí asumimos que posibles factores de fase adicionales en el$px$la superposición (E) se ha eliminado a través de redefiniciones apropiadas, cf. esta respuesta Phys.SE.