¿Cuál es la definición formal de una integral indefinida?

Entiendo que las integrales definidas se pueden definir como el límite de las sumas de Riemann, pero todavía tengo que ver una definición similar para la integral indefinida. Supongo

∫ F ( X ) d X = { F ( X ) : F ′ = F }
podría funcionar, pero no estoy seguro de si esta es realmente una definición satisfactoria. Alternativamente, con el conocimiento del teorema fundamental del cálculo, podríamos definir
∫ F ( X ) d X = ∫ a X F ( t ) d t + C
pero esta definición parece extraña porque usa un resultado bastante profundo para definir algo que generalmente se introduce muy temprano en las clases de cálculo. Entonces, ¿existe una definición formal de una integral indefinida y, de ser así, cuál es?

Una integral indefinida de F es cualquier función cuya derivada es F . No está definido de manera única.
que yo sepa no existe una definición formal de integración indefinida, esto se debe a que no es necesaria ni útil sino para enseñar mal las matemáticas a la gente. Su uso debe evitarse por completo
Es simplemente una antiderivada, y la notación ∫ F ( X ) d X se justifica por el 1er teorema fundamental del Cálculo.
@KaviRamaMurthy Así es la primera definición posible que di, ∫ F ( X ) d X = { F ( X ) : F ′ = F } , ¿satisfactorio?
Sí, cualquier elemento de su conjunto se llama 'integral indefinida' y no existe tal cosa como 'la integral indefinida'.
Si uno quiere algo definido, necesita especificar un punto base, por ejemplo, F ( X ) = ∫ a X F ( X ′ ) d X ′ . (A veces noto que como F ( X ) = ∫ 0 F ( X ) d X para evitar introducir una variable auxiliar.)
@ Semiclassical no funcionará para funciones con dominio desconectado, como F ( X ) := 1 / X . El uso de la integral indefinida debe evitarse por completo, si la usas irás al infierno matemático.
Ver aquí _
@KaviRamaMurthy: En cálculo de primer y segundo año, eso es lo que es una integral indefinida, pero más allá de eso, uno puede encontrar sutilezas.
@Bernardo ↑
@MichaelHardy: ¿Te refieres a la integral Denjoy-Perron-Kurzweil (no Kurt Weill ;o))-Henstock?
@Bernard: En realidad, tenía en mente algo menos exótico que eso. Más tarde, tal vez.
@Masacroso No entiendo por qué cree que se debe evitar la integración indefinida. ¿Podría elaborar por favor?
La integral indefinida es solo un conjunto de antiderivadas, que difieren en una constante.
@Joe no existe una definición convencional para ∫ F ( X ) d X , y cualquier definición que elija será mala en algunos: o simplemente se aplica a funciones con dominios conectados, o define el conjunto de antiderivadas de F , en este último entonces la notación es pésima ya que induce a pensar que se puede obtener cualquier antiderivada integrando, y esto es falso para funciones con dominios desconectados. En cualquier caso, la notación no agrega nada útil, solo confusión. Si quieres hablar de antiderivadas, solo usa esa palabra, no necesitas ninguna notación problemática
@Masacroso OK, gracias por aclarar. Eso tiene mucho sentido. Tengo la sensación de que las antiderivadas realmente deberían considerarse como una herramienta computacional que, en algunos casos, puede ayudar a calcular integrales (definidas). No les veo muchos usos aparte de eso, en contraste con las integrales que se pueden usar para encontrar áreas y volúmenes, entre otras cosas. ¿Es correcto mi entendimiento?
Las antiderivadas de @Joe son útiles porque tienen toda la información sobre el área o el volumen empaquetada en una función. Son importantes en geometría diferencial y otras ramas de las matemáticas.
@Masacroso Correcto, entonces las antiderivadas son útiles; es solo que la notación que usamos es muy engañosa.
@Joe, el punto es que no necesitas una notación para decir eso F es una antiderivada de F . Antiderivada de una función F : A → R , para algunos A ⊂ R , es una función F : A → R tal que F ′ = F . por supuesto, cuando A es un intervalo, puede demostrar que todas las derivadas de F son de la forma F ( X ) = C + ∫ a X F ( t ) d t para algunos C ∈ R
@Masacroso Gracias de nuevo. Usted ha sido muy útil.

Respuestas (1)

Debes ceñirte a la definición de una integral indefinida.

Dada una función F : I → R definido en un intervalo abierto I , si F : I → R es una función tal que F ′ ( X ) = F ( X ) para cada X ∈ I , entonces llamamos F una antiderivada de la función F . Es fácil comprobar los dos hechos siguientes:

  • Si F es una antiderivada F en el intervalo I , entonces también lo es F + C para cualquier constante C ;

  • Si F y GRAMO son dos antiderivadas de F , es decir, F ′ ( X ) = GRAMO ′ ( X ) = F ( X ) para todos X ∈ I , entonces existe (¡ejercicio!) una constante C tal que F = GRAMO + C .

Definimos la noción de " integral indefinida" de la función F (en el intervalo I ) como una familia de funciones:

integral indefinida de  F = { F : I → R ∣ F ′ ( X ) = F ( X )   para todos  X ∈ I }

Debido a estos dos hechos anteriores, escribimos

∫ F ( X ) d X = F ( X ) + C
para cualquier antiderivada F de F (en el intervalo I ).

el problema es que no hay una definición canónica de integración indefinida, no te puedes apegar a algo que no existe.
¿Cuál es la definición formal de una integral indefinida?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v