Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Question

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

suma
Matemáticas
combinatoria
teorema del binomio
coeficientes binomiales

bromista

Dado $\sum_{k=0}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k} = (-1)^r\binom{n}{r}$ para $0≤r≤\frac12n$

como muestro eso $\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k} = \frac12(-1)^r\binom{n}{r}[1+\binom{n}{r}]$ para $0≤r≤\frac12n$

Por contexto, la primera declaración se deriva de considerar el coeficiente de $x^{2r}$ en la declaración $(1-x)^n(1+x)^n=(1-x^2)^n$ dónde $2r≤n$

Respuestas (1)

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

roberto z · Answer 1

Usa simetría: dividimos la suma en dos partes y luego cambiamos el índice en la segunda dejando $j=2r-k$ ,

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{2 r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) & (\binom{norte}{2 r - k}) = \sum_{k = 0}^{r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{norte}{2 r - k}) + \sum_{k = r + 1}^{2 r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{norte}{2 r - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{norte}{2 r - k}) + \sum_{j = 0}^{r - 1} (- 1)^{2 r - j} (\binom{norte}{2 r - j}) (\binom{norte}{j}) \\ = \sum_{k = 0}^{r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{norte}{2 r - k}) + \sum_{j = 0}^{r} (- 1)^{j} (\binom{norte}{2 r - j}) (\binom{norte}{j}) - (- 1)^{r} {(\binom{norte}{r})}^{2} \\ = 2 \sum_{k = 0}^{r} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{norte}{2 r - k}) - (- 1)^{r} {(\binom{norte}{r})}^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}&\binom{n}{2r-k}=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{k=r+1}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}\\ &=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^{2r-j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}\\ &=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{j=0}^{r} (-1)^{j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}- (-1)^{r}\binom{n}{r}^2\\ &=2\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}- (-1)^{r}\binom{n}{r}^2. \end{align}$

Tengo algunos problemas para entender cómo se sigue exactamente la segunda línea de la primera. Estas usando $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ para obtener el resultado? Si no es mucho pedir, ¿podría mostrar una línea adicional de trabajo entre los dos?
@Quippy Edité mi respuesta con una línea adicional. ¿Esta mejor ahora?
Lo siento, quise decir que no entiendo cómo $\sum_{k=r+1}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}=$ $\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^{2r-j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}$
@Quippy Cambiar índice de suma: let $j=2r-k$ entonces $k=r+1,\dots, 2r$ se convierte $j=0,\dots, r-1$ .
(+1) Escribí una respuesta, pensando que era más simple, pero luego, al mirar más de cerca, me di cuenta de que era esencialmente lo mismo.

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

bromista

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roberto z

bromista

roberto z

bromista

roberto z

bromista

robarjohn

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Prueba combinatoria de ∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+m−im)(ni)∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+ m−im)(ni) \sum \limits_{i = 0} ^{m} 2^{ni} {n \choose i}{m \choose i} = \sum\limits_{i=0}^m { n + m - yo \elegir m} {n \elegir i}

Usando el teorema del binomio para evaluar la suma ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk en forma cerrada

Demostrando una identidad interesante con sumas parciales de filas de triángulos de Pascal

¿Hay alguna identidad de poder que no pertenezca a esta lista?

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n