Derivación del momento magnético a partir de la ecuación de Dirac

$A\times P$– más precisamente, una expresión proporcional a$A\times P + P\times A$– no se puso a cero. Se evaluó adecuadamente y el resultado dio la$iq\hbar B/c$término.

Tenga en cuenta que si$\pi$eran un vector de$c$-números en lugar de operadores,$\pi\times \pi$sería igual a cero. Así es como se comporta el producto cruz. Así que cualquier término en el producto cruz$\pi\times \pi$que es distinto de cero debe ser proporcional a los conmutadores distintos de cero entre los componentes de$\pi$. Ahora, los tres componentes de$P$viajar entre sí; y los tres componentes de$A$(que dependen del vector$x$) viajan entre sí. Así que todos los términos en$\pi\times \pi$debe surgir de los conmutadores de componentes de$P$, esencialmente un derivado con respecto a$x$, y componentes del vector potencial$A$. Por simetría rotacional, está claro que uno debe obtener un múltiplo de$\nabla\times A$De este modo. Y por cierto,$B = \nabla\times A$se mantiene exactamente incluso si hay un potencial escalar dependiente del tiempo.

Déjame escribir el cálculo aquí:

$$\pi\times\pi = \epsilon_{ijk} \pi_j\pi_k = \frac 12\epsilon_{ijk} [\pi_j,\pi_k]=\dots$$ Aquí, podría haber reemplazado el producto $\pi_j\pi_k$por la mitad del conmutador porque se multiplica por un $jk$-símbolo épsilon antisimétrico, de todos modos. Continuar: $$\dots = \epsilon_{ijk} [P_j,-qA_k/c] = \dots$$ Aquí, usé la ley distributiva para el conmutador, me di cuenta de que $[P_j,P_k]=0$y $[A_j,A_k]=0$, por lo que solo los conmutadores mixtos aportan algo distinto de cero y estos términos mixtos están allí dos veces, $[P,A]$y $[A,P]$con el signo opuesto (anulado por el signo opuesto del símbolo épsilon), por lo que basta con escribir uno de ellos y borrar el factor de $1/2$de nuevo.

Ahora,$[P_j,Y]\equiv -i\hbar \partial_j Y$entonces tenemos

$$\dots = -i\hbar \epsilon_{ijk} \partial_j(-qA_k/c) = \frac{iq\hbar}{c} \epsilon_{ijk}\partial_j A_k = \frac{iq\hbar}{c} B_i.$$ QED.