Dudas sobre el uso del producto tensorial en mecánica cuántica

Estoy estudiando mecánica cuántica en particular producto tensorial y espacio de Hilbert (por primera vez). Tengo algunas dudas y me gustaría comprobar si he entendido bien.

Factorización

El estado de una partícula puede tener muchos grados de libertad y para describir el estado de la partícula respecto a uno de ellos usamos un vector en un espacio de Hilbert apropiado.

Cuando queremos describir el estado con respecto a más de un grado de libertad, usamos un vector que vive en un espacio de Hilbert producto tensorial, por ejemplo, cuando describimos el giro y la posición de una partícula:

H s pag i norte ⊗ H pag o s i t i o norte
O cuando tenemos dos partículas independientes diferentes:
H pag o s i t i o norte 1 ⊗ H pag o s i t i o norte 2
Entonces, si los grados de libertad están desacoplados (es decir, no hay términos en el hamiltoniano que los mezclen), los estados propios del hamiltoniano se pueden factorizar como un producto tensorial de dos estados que viven en el espacio de Hilbert adecuado, por ejemplo, cuando describimos el espín y posición de una partícula:
S ( s pag i norte ) ⊗ Ψ ( r )
O cuando tenemos dos partículas independientes diferentes:
Ψ a ( r 1 ) ⊗ Ψ b ( r 2 )

Pregunta

Lo que no entiendo es por qué cuando tratamos con una partícula con giro y posición, el estado genérico es S ( s pag i norte ) ⊕ Ψ ( r ) y nunca he visto algo como:

a ( S a ( s pag i norte ) ⊕ Ψ a ( r ) ) + b ( S b ( s pag i norte ) ⊕ Ψ b ( r ) )
En cambio, cuando tratamos con dos sistemas de partículas escribiendo Ψ a ( r 1 ) ⊕ Ψ b ( r 2 ) nos referimos a un conjunto de estados propios y el estado genérico es una combinación lineal de ellos como:
a ( Ψ a ( r 1 ) ⊗ Ψ b ( r 2 ) ) + b ( Ψ C ( r 1 ) ⊗ Ψ d ( r 2 ) )

Otras reglas

Eventualmente, si el grado de libertad debe respetar algunas reglas más, tomamos como autoestados admisibles solo un subconjunto de todos los autoestados posibles del hamiltoniano. Por ejemplo, cuando tenemos dos partículas idénticas, los estados deben ser simétricos o antisimétricos, por lo que tenemos: estados propios simétricos que abarcan todos los estados de los bosones

1 / 2 ( Ψ a ( r 1 ) ⊗ Ψ b ( r 2 ) ) + 1 / 2 ( Ψ a ( r 2 ) ⊗ Ψ b ( r 1 ) )
y autoestados antisimétricos que abarcan todos los estados de los fermiones
1 / 2 ( Ψ a ( r 1 ) ⊗ Ψ b ( r 2 ) ) − 1 / 2 ( Ψ a ( r 2 ) ⊗ Ψ b ( r 1 ) )

Respuestas (1)

Su juicio es correcto: estados como

a ( S a ( s pag i norte ) ⊗ Ψ a ( r ) ) + b ( S b ( s pag i norte ) ⊗ Ψ b ( r ) )
están perfectamente permitidos y, de hecho, se encuentran comúnmente en la naturaleza. La razón por la que aún no los ha visto es presumiblemente porque todavía está en el nivel introductorio y, de hecho, muchos libros de texto son un poco débiles en esto, ya que implican que el estado de giro siempre se puede factorizar, lo cual es incorrecto.

El estado entrelazado de espín/espacio que se muestra arriba describe el haz que sale de un imán de Stern Gerlach, por ejemplo. Además, describe lo que realmente sucede entre los electrones en cualquier átomo, aunque los tratamientos elementales a menudo mantienen esto un poco oculto.

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