¿Por qué S⃗ (A)⊗S⃗ (B)=ℏ24(σx⊗σx+σy⊗σy+σz⊗σz)S→(A)⊗S→(B)=ℏ24(σx⊗σx+σy⊗σy+σz⊗ σz) \vec{S}^{(A)} \otimes \vec{S}^{(B)} = \frac{\hbar^2}{4}(\sigma_x \otimes \sigma_x + \sigma_y \otimes \sigma_y + \sigma_z \otimes \sigma_z)?

No creo que el autor deba usar el producto tensorial$\otimes$en

$$\vec{S}^{(A)} \otimes \vec{S}^{(B)} = \frac{\hbar^2}{4}(\sigma_x \otimes \sigma_x + \sigma_y \otimes\sigma_y + \sigma_z \otimes \sigma_z)$$ porque realmente no quiere decir producto tensorial. Bastante, $\vec S$es un operador vectorial, es decir, sus componentes se transforman como los componentes de un vector, solo que son operadores, no números. Entonces el producto interior $\vec S^A \cdot \vec S^B$tiene sentido, $$\vec S^A \cdot \vec S^B = S_x^A \circ S_x^B + S_y^A \circ S_y^B + S_z^A \circ S_z ^B$$ dónde $\circ$es composición como operadores (multiplicación de matrices, si lo prefiere). ¡Tenga en cuenta que esto no es necesariamente simétrico! Si $\vec S = S^A \otimes 1 + 1 \otimes S^B$, entonces obtenemos $$\vec S \cdot \vec S = \vec S^A \cdot \vec S^A \otimes 1 + 2 (\vec S^A \otimes 1) \cdot (1 \otimes \vec S^B) + 1 \otimes \vec S^B \cdot \vec S^B .$$

Para encontrar la expresión con la que tuvo problemas, tenga en cuenta que$\vec S^A_ x \otimes 1 = \frac{\hbar}{2} \sigma_x \otimes 1$,$1 \otimes \vec S^B_x = \frac{\hbar}{2} 1 \otimes \sigma_x$. Entonces

$$S^A_x \circ S^B_x = \frac{\hbar^2}{4}\sigma_x \otimes \sigma_x$$ y naturalmente es lo mismo para $y$y $z$.

¡El producto tensorial tiene mucho sentido! ¡Es el producto interior el que no lo hace! Estos vectores "viven" en diferentes espacios de Hilbert, no se puede hacer un producto interno a partir de ellos, no tiene sentido.

Lo que significa la ecuación es simplemente la declaración de 2 partículas diferentes con 2 espacios de Hilbert diferentes. La partícula A tiene su vector de estado en el espacio de Hilbert A y lo mismo para B, por lo que$\vec{S}_A$actúa sobre los estados de A y lo mismo para$\vec{S}_B$en B.

Desde$\vec{S}_A=(S_x,S_y,S_z)_A=\frac{\hbar}{2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)_A$y$\vec{S}_B=(S_x,S_y,S_z)_B=\frac{\hbar}{2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)_B$, la notación tensorial es la forma formal de indicar que el primer operador (S_A) actuará sobre el vector de estado A y S_B sobre el vector de estado B. Un ejemplo simple sería un componente del producto tensorial que actúa sobre un estado entrelazado de A y B en la base de la dirección z de estos. Entonces, cuando se opera en un estado como:

$\left|\frac{1}{2} \frac{1}{2}\right>_A\otimes\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right>_B+\left|\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\right>_A\otimes\left|\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right>_B$

cada operador sólo actúa sobre el estado correspondiente.

En realidad yo "creo" que este tema no está realmente "resuelto"...

La expresion

$$\frac12 \left(\sigma_x\otimes\sigma_x+\sigma_y\otimes\sigma_y+\sigma_z\otimes\sigma_z\right)$$ es presentado por P. Dirac en su famoso libro The Principles of Quantum Mechanics IV ed. cap. IX pág. 221 donde usa esta expresión (en realidad no escribe explícitamente el signo del producto tensorial o de Kronecker $\otimes$pero se "entiende" que le corresponde). Utiliza esta expresión para obtener un operador de permutación para partículas de espín 1/2 (electrones). Luego lo "identifica" con la expresión $(\vec\sigma,\vec\sigma)$, pero no da ninguna justificación física para la notación... Utiliza estas expresiones para calcular la energía de intercambio que es un tema fundamental en física (magnetismo) y está relacionado con el principio de simetría de Pauli.

Quizás alguien tenga otras referencias "antiguas".