¿Por qué se necesitan cuatro vectores en la ecuación de Dirac, cuando hay 4 matrices 2D linealmente independientes?

Question

¿Por qué se necesitan cuatro vectores en la ecuación de Dirac, cuando hay 4 matrices 2D linealmente independientes?

Física
relatividad
giro cuántico
ecuación de dirac
mecánica cuántica

rubenvb

Me enseñaron que para que la ecuación de Dirac "funcione", necesitas matrices de la siguiente forma:

$Tr(\alpha^i) = 0$ .
Valores propios +1 o -1
2 puntos anteriores juntos: igual número de valores propios negativos y positivos, por lo tanto, incluso dimensión.
$\alpha^i$ y $\beta$ cumplir con la relación anti-conmutador.

Mi profesor de Advanced QM me dijo de manera convincente que solo hay 3 matrices 2D linealmente independientes, las matrices de Pauli, que se pueden usar en 2D. Ese es uno corto, por lo que necesitará al menos matrices 4D.

Ahora, mi profesor de QFT, que sobresale en confundirme (y no solo a mí, eso sí), afirmó que es perfectamente posible usar solo matrices 2D, al extender el conjunto de matrices de Pauli con otro. Creo que está equivocado, pero parece demasiado viejo (y "sabio") para estar equivocado, y no recordaba todas las condiciones anteriores en ese momento, así que no quería discutir sin argumentos.

¿Es posible 2D-ificar la ecuación de Dirac? (y no solo en un sistema 2D como el grafeno, sino en general)

Gracias

Respuestas (4)

¿Por qué se necesitan cuatro vectores en la ecuación de Dirac, cuando hay 4 matrices 2D linealmente independientes?

Motl de Luboš · Answer 1

Estimado rubenb, sí, lo que dice tu profesor seguramente se basa en matemáticas sólidas. La razón es que el espinor de Dirac de 4 componentes en realidad está compuesto por dos piezas separadas de 2 componentes.

Los "espinores" elementales para 3+1 dimensiones tienen dos componentes complejos. Que resulta del isomorfismo entre grupos.

S L (2, C) \sim S pag i norte (3, 1) .

$SL(2,C) \sim Spin (3,1).$ Tenga en cuenta que ambos grupos tienen 6 generadores reales. En particular, en una base debidamente elegida, la

α^{i}

$\alpha^i$ y

β

$\beta$ las matrices se pueden llevar a una forma de bloque diagonal con

2 \times 2

$2\times 2$ bloques De ello se deduce que el

2 \times 2

$2\times 2$ los bloques mismos satisfacen la misma álgebra.

En particular, las cuatro matrices pueden escribirse como

(β, α^{i}) = (1_{2 \times 2}, σ^{i}) \equiv σ^{m}

$(\beta, \alpha^i) = (1_{2\times 2}, \sigma^i)\equiv \sigma^\mu$ es decir, como las matrices de Pauli complementadas con la matriz identidad. Tenga en cuenta que el

α^{i}

$\alpha^i$ es decir

σ^{i}

$\sigma^i$ matrices anticonmutan entre sí mientras conmutan con

β

$\beta$ es decir

σ^{0}

$\sigma^0$ y todas las matrices cuadran a la identidad como

β

$\beta$ ,

α^{i}

$\alpha^i$ hacer.

El isomorfismo anterior puede verse como una "extensión no compacta" del isomorfismo habitual

S tu (2) \sim S pag i norte (3) .

$SU(2) \sim Spin(3).$ Tenga en cuenta que el grupo

S U (2)

$SU(2)$ es un subgrupo de

S L (2, C)

$SL(2,C)$ - es el mismo par que

S p i n (3)

$Spin(3)$ que es un subgrupo de

S p i n (3, 1)

$Spin(3,1)$ .

Los espinores de dos componentes son directamente relevantes para la descripción de los neutrinos. Solo describen una partícula sin masa levógira (y una antipartícula sin masa levógira). Eso es diferente del espinor de Dirac de 4 componentes que describe una partícula que puede ser zurda o diestra. El neutrino viene dado por un espinor de Weyl y la ecuación libre es simplemente

σ^{m} \partial_{m} x = 0

$\sigma^\mu \partial_\mu \chi = 0$ que es covariante de Lorentz. Sin embargo, uno debe darse cuenta de que el 4-vector de

2 \times 2

$2\times 2$ matrices,

σ^{μ}

$\sigma^\mu$ , no transforme el espacio complejo bidimensional (espinores de Weyl dextrógiros) sobre sí mismo sino en otro espacio complejo bidimensional (de espinores de Weyl dextrógiros) que es el complejo conjugado del primero.

Las partículas cargadas masivas como el electrón requieren un espinor de 4 componentes, es decir, un par de dos espinores de 2 componentes, pero para los neutrinos, la cantidad mínima para describir una sola partícula está dada por un espinor de 2 componentes.

Gracias por la pronta respuesta. Entonces, ¿no es correcto usar matrices 2x2 para partículas masivas? Pero el isomorfismo entre los dos grupos debería mantenerse independientemente del valor de m, ¿no?
@rubenvb: puede escribir bien los términos de masa: el término de masa en la acción simplemente mezclará uno de los espinores con el otro. Es tener tanto un término de masa como de carga lo que mejora las cosas.
Querido @rubenvb, exactamente como dice Jerry. en la ecuacion $\sigma^\mu \partial_\mu\chi = 0$ , no puedes simplemente agregar el término de masa $m\chi$ porque el término derivado se transforma en un espinor de mano derecha mientras que $m\chi$ se transforma como el espinor zurdo opuesto. Sin embargo, puede agregar $m\bar\chi$ , el complejo conjugado. Sin embargo, $\bar\chi$ lleva cargas opuestas a $\chi$ , por lo que la ecuación solo conservará las cargas si las cargas de $\chi$ desaparecer. En ese caso, el $m$ parámetro se denomina "masa majorana". Sin embargo, no es posible para electrones cargados, etc. Entonces necesitas dos 2 espinores.
@Luboš Motl: ¡Gracias por la explicación extensa y comprensible!
@Lubos: una pequeña pregunta de seguimiento: ¿el hecho de que haya fermiones de Dirac sin masa se deriva de una ecuación de Dirac 2D o viceversa (piense en el grafeno)? ¿Cada partícula descrita por una ecuación 2D de Dirac no tiene masa?
Estimado Rubenvb, no te refieres a la ecuación de Dirac en 2D sino a la ecuación de Dirac de 2 componentes, justo en 4D, ¿verdad? Pero si entiendo su pregunta, es la misma que respondimos Jerry y yo arriba. No, puedes tener misas de Majorana, $\sigma^\mu \partial_\mu \chi = m\bar\chi$ . Eso solo tiene sentido si $\chi$ en el LHS y $\bar\chi$ en el lado derecho tienen las mismas cargas, que por lo tanto deben ser cero porque son opuestas entre sí. Además, no entiendo qué tiene que ver el grafeno con eso. Las teorías de la dinámica del grafeno son teorías 3D (2+1), no 2D ni 4D.

pedro morgan · Answer 2

La respuesta de Luboš está bien, y ha adoptado un nivel de presentación que se ve bien para usted, pero prefiero expresar esto de manera algo diferente, usando la covariante manifiestamente de Lorentz. $\gamma^\mu$ operadores en lugar de utilizar los operadores $(\beta,\alpha^i)$ . Para la ecuación masiva de Dirac, necesitas cuatro objetos que satisfagan las relaciones $\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}$ hacer la presentación manifiestamente covariante. Usando estos, puedes construir 6 objetos linealmente independientes de la forma $\gamma^0\gamma^1$ , 4 objetos linealmente independientes de la forma $\gamma^0\gamma^1\gamma^2$ , y solo un objeto linealmente independiente de la forma $\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ , 15 en total, lo que unido a la identidad da el mismo número de dimensiones que el álgebra de matrices de 4x4. De hecho, podemos probar que el álgebra generada por el $\gamma^\mu$ sobre el campo complejo con las relaciones anteriores es isomorfo al álgebra de matrices complejas de 4x4.

Para llegar a matrices de 2x2 sin romper (casi) la invariancia de Lorentz, usamos el objeto $\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ , que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz excepto los reflejos y que conmuta con una parte de 8 dimensiones del álgebra y anticonmuta con una parte distinta de 8 dimensiones del álgebra. Podemos usar esto para construir una proyección casi invariante de Lorentz $\frac{1}{2}(1+i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)$ . Esta proyección divide los vectores de 4 dimensiones sobre los que actúa una matriz de 4x4 en dos partes de 2 dimensiones, con valores propios 1 y 0. En la representación quiral, este operador de proyección es $\left(\array{I\ 0\\ 0\ 0}\right)$ , dónde $I$ es una matriz identidad de 2x2.

Esto es solo una pequeña parte de lo que hay que aprender sobre las matrices de Dirac. Recogerás muchas piezas en el camino. Algunas personas prefieren trabajar con matrices, otras prefieren trabajar de la manera un poco más abstracta que he usado anteriormente, otras (¡matemáticos!) prefieren niveles de abstracción aún más altos que los que ves arriba. Lo anterior no es del todo explícito, pero es mucho mejor resolver estas cosas por ti mismo en la medida de lo posible.

Gracias por la explicación alternativa (aunque es en gran medida la misma excepto por la claridad con el $\gamma$ 's. Siento que me siento más a gusto en grupos que en álgebra, aunque ambos parecen haber sido omitido en gran medida en todos mis cursos hasta el momento. Dos preguntas: 1) ¿qué quiere decir exactamente con "casi invariante de Lorentz"? 2) ¿Qué quiere decir con álgebra de 8 dimensiones? ¿Es algo así como 4 "dimensiones" reales y 4 imaginarias o es algo más?
@rubenvb La manifestación de la covarianza es (muy) valiosa. Mantiene el álgebra y la geometría bajo un control matemático mucho mejor, de modo que los cálculos más difíciles se pueden realizar con mayor facilidad. Por "casi", quiero decir sí bajo rotaciones y aumentos, no bajo reflejos. Es por eso que los espinores zurdos 2d se transforman en espinores diestros 2d bajo la reflexión. Hay una subálgebra invariante de Lorentz de 8 dimensiones del álgebra de Dirac que contiene los 6 $\gamma^\mu\gamma^\nu$ , la identidad y $\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ . En la representación quiral, estas son matrices de bloques de 2x2 en la diagonal.

joel arroz · Answer 3

Hay un libro reciente de Jean Hladik "Spinors in Physics" que se ve bien. Y hay sitios web sobre Clifford Algebra, y artículos de Pertti Lounesto y aún más de David Hestenes. Dirac Algebra es un Clifford Algebra, y eso es algo muy sencillo. Toma cualquier número de letras anticonmutación, con cualquier firma, y forma un 'número' que consta de todas las combinaciones de letras tomadas r a la vez, digamos: 1 + t + x + y + z + tx + ty + tz + xy + yz + zx + txy + tyz + tzx + xyz + txyz (+ - - -) y ahora tiene un 'álgebra del espacio-tiempo' con todos los subespacios del espacio-tiempo enumerados explícitamente, y la 'subálgebra par' 1 + tx + ty + tz + xy + yz + zx + txyz se puede usar para rotar un cuatroVector, es decir, una transformación de Lorentz. Dirac utiliza coeficientes complejos. Las matrices gamma son solo las t,x,y,z de arriba, en una representación matricial, con todas las 'covariantes bilineales' enumeradas. Los grupos y matrices hacen que parezca más complicado de lo que es.

Roy Simpson · Answer 4

Lo que no se ha señalado explícitamente en las respuestas anteriores es que la ecuación de Dirac se puede expresar en forma de 2 espinores. Debido a que en realidad es un objeto de 4 espinores, se requieren dos ecuaciones.

$\nabla^A_{B'} \alpha_A = 2^{-1/2}M\beta_{B'}$

$\nabla^{B'}_{A} \beta_{B'} = 2^{-1/2}M\alpha_{A}$

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