Producto tensor vs. Producto directo para tres partículas spin-1/2

Consideremos tres partículas de espín-1/2 y centrémonos solo en su espín intrínseco S . El espacio de Hilbert tiene que ser entonces H = ℂ 2 ⊗ ℂ 2 ⊗ ℂ 2 . El giro puede ser descrito por V   ∈   SU(2) y la representación fundamental D 1 / 2 con

S → = ℏ METRO → = 1 2 ℏ σ → .
Elijamos como base de ℂ 2 (1 partícula):
| 1 2 , 1 2 ⟩ = ( ( 1 ) ( 0 ) ) ≡ | mi → 3 ⟩ , | 1 2 , − 1 2 ⟩ = ( ( 0 ) ( 1 ) ) ≡ | − mi → 3 ⟩ .
Además, según la serie de Clebsch-Gordan, se obtiene:
D 1 / 2 ⊗ D 1 / 2 ⊗ D 1 / 2 = D 1 / 2   ⊗ ( D 1 ⊕ D 0 ) = ( D 1 / 2 ⊗ D 1 ) ⊕ ( D 1 / 2 ⊗ D 0 ) = D 3 / 2 ⊕ D 1 / 2 ⊕ D 1 / 2 .
Entonces nos quedan 8 estados en el sistema combinado de 3 partículas.

Preguntas:

  1. Si uno simplemente considerara la suma directa de las tres partículas, es decir, ℂ 2 ⊕ ℂ 2 ⊕ ℂ 2 solo tendríamos 6 estados, ¿correcto?
  2. ¿Cuál es la imagen más simple para ver las consecuencias de hacer esto en lugar de tomar el producto tensorial?
  3. Tal vez uno también podría darme un buen ejemplo (físico) de la diferencia de ℝ 3 ⊗ ℝ 2 versus ℝ 3 ⊕ ℝ 2 (¿espacio de fase?).

He buscado preguntas similares y he encontrado algunas cosas. Sin embargo, no estoy particularmente interesado en el aspecto de los estados resultantes (es decir, su momento de giro), sino más bien en las diferencias si uno no estuviera considerando el producto tensorial.

consejos de texto: \mathbb{C}tiene que ser más rápido que encontrar un ℂcarácter para copiar y pegar, y de manera similar para \otimes, \oplus, \equivy \in. |no siempre tiene las mismas reglas de espaciado que \lvert, solo el último de los cuales es un delimitador real, y \hbarse \sigmaescribe de manera diferente (es decir, mejor que) ħy σen MathJax. (+1 en el contenido sin embargo.)
Gracias por tus comentarios. Nota al margen: en mi caso, es la pereza de no tener que copiar ese carácter ni escribir texto de estilo látex debido al uso de una herramienta llamada Neo (diseño de teclado, consulte: neo-layout.org/index_en.htmlhttp://neo -layout.org/index_en.html ). Sin embargo, me di cuenta de que el resultado a veces puede estropear el diseño de tal manera que tendré que adaptarme para que sea fácil de leer. Así que agradezco correcciones (edits) para aprender.

Respuestas (2)

La suma directa de los espacios de Hilbert no es una "buena" noción cuando se habla de espacios de estados.

Los estados "reales" son elementos del espacio proyectivo de Hilbert , donde cada rayo se reduce a un punto para reflejar que las fases y la normalización no alteran el estado que se supone que representa un vector en el espacio de Hilbert.

Ahora, en los espacios proyectivos, la suma directa de los espacios originales simplemente no produce algo que se comporte correctamente al considerar esto: Observe que, para estados ϕ ∈ H 1 y ψ ∈ H 2 , ( C ϕ , ψ ) ∈ H 1 ⊕ H 2 no está en el mismo rayo que ( ϕ , ψ ) ∈ H 1 ⊕ H 2 para C ∈ C − { 1 } . Entonces, la suma directa no respeta la naturaleza de los estados cuánticos, es simplemente la noción incorrecta de producto a considerar.

Por otro lado, la bilinealidad del producto tensorial significa que ( C ϕ ) ⊗ ψ = C ⋅ ( ϕ ⊗ ψ ) , por lo que el producto tensorial efectivamente asigna el producto de elementos de rayos al mismo rayo en el espacio del producto, independientemente del representante que elijamos.

Por lo tanto, la noción cuántica adecuada de producto es el producto tensorial, no la suma directa. (ver también esta pregunta y, como otra nota interesante, los "estados entrelazados" surgen simplemente como la falla de un mapa del producto cartesiano de los espacios proyectivos al producto tensorial para ser sobreyectivo, ya que este último es más grande)

La ocurrencia frecuente de sumas directas ahora se debe a que las representaciones de grupos tienen la noción de representaciones irreducibles , representaciones que no se descomponen como la suma directa de otras representaciones.

Por lo tanto, si deseamos obtener un sistema cuántico combinado, primero tomamos el producto tensorial de sus espacios de estados (que generalmente llevan representaciones de los grupos de simetría de la teoría), y luego descomponemos estos productos tensoriales en la suma directa de representaciones, porque los irreducibles son más fáciles de trabajar y, en el caso del espín, corresponden directamente al espín total de un estado en esa representación.

(Para responder a sus preguntas de forma literal y directa:

  1. Sí correcto.
  2. Tienes un espacio menos dimensional que no se comporta correctamente con la estructura proyectiva.
  3. R 3 ⊗ R 2 = R 6 , pero R 3 ⊕ R 2 = R 5 )
Hasta ahora, no pensé en una argumentación del Espacio de Hilbert original. Sin embargo, para seguir completamente su argumento, ¿no debería calcular las probabilidades (es decir, como medir y normalizar) y verificar que realmente no se cancela en el caso de usar la suma directa? Me refiero a un sistema no compuesto. He visto esto al comienzo de mis conferencias QM, pero aquí no lo veo.
@RedPencil: no estoy seguro de lo que está preguntando: mireϕ yc ⋅ ϕ , que son el mismo estado enH1 (¡ya que difieren solo por la multiplicación por un número complejo!). Ahora mira las tupelas( ϕ , ψ ) y( do ⋅ ϕ , ψ ) . Estos deben representar el mismo estado, pero no hay un número complejod tal qued⋅ ( ϕ , ψ ) = ( do ⋅ ϕ , ψ ) siC no era 1 ya, por lo que estas tupelas no representan el mismo estado. Esto demuestra que la suma directa no respeta la naturaleza proyectiva de los estados.
Esto es exactamente lo que quise decir: Correcto,d( φ , ψ ) = ( do φ , ψ ) no puede sostenerse si excluimos1 . Sin embargo, lo que estaba pensando es que las cosas conλ ψ ψ  se debe a la interpretación de Born de QM (Pr ( ψ ) = | ⟨ ψ | φ⟩ _|2/ ⟨ ψ | ψ ⟩⟨ φ | φ⟩ _ ). Y entonces, ¿cómo concluyo quePAGr ( ( do φ , ψ ) ) ≠ PAGSr ( ( φ , ψ ) ) ?
@RedPencil: observe que el producto interno de( do ϕ , ψ ) con( ϕ , ψ ) esc ⟨ ϕ | ϕ ⟩ + ⟨ ψ | ψ ⟩ . Suponga (¡solo por simplicidad!) queϕ , ψ están normalizados, por lo que el producto interno es soloc + 1 . El denominador de la regla de Born aplicada a los dos estados es2 (C2+ 1 ) , y su numerador es( c + 1)2 . Ahora, si las dos cosas estuvieran en el mismo estado, la regla de Born debería dar 1. Exigir que esto realmente suceda da como única soluciónc = 1 . Uno puede confiar en los espacios proyectivos, son la regla Born disfrazada;)
Agradezco sus comentarios. Es una página realmente encantadora con seres humanos serviciales. Sí, es una maldición que no entiendo los conceptos matemáticos tan rápido, lo que me permitiría pasar más tiempo con las consecuencias físicas... ¡Salud!
@L.Su: Sí, todavía hay un problema con esto: primero, asigna estados normalizados a estados no normalizados, y segundo, este mapa no desciende a un mapa adecuado en los espacios proyectivos de Hilbert:ϕ yc ϕ son el mismo punto en el espacio proyectivo, pero si( ϕ , ψ ) = ( ϕ , 0 ) + ( 0 , ψ ) y( do ϕ , ψ ) no son el mismo estado, entonces( ϕ , 0 ) y( c ϕ , 0 ) no son el mismo estado y, por lo tanto, no obtenemos un mapa bien definido en los espacios proyectivos: ¡otro indicio de que esta es una noción incorrecta a considerar!
@ACuriousMind Supongo que debemos identificardo ( ϕ , ψ ) ( do ϕ , ψ ) ( ϕ , do ψ )   . Entonces la definición anterior funciona para espacios de Hilbert de dimensión finita porque tenemos el isomorfismo entreH1⊕H2 yH1×H2 . Usando la definición de producto tensorial junto con las identificaciones, podemos probar la equivalencia. Pero entonces todo parece engorroso...
@L.Su: Entonces estamos identificando arbitrariamente estados en el espacio de Hilbert que no están en los mismos rayos, lo que significa que el espacio real de estados ya no es el espacio proyectivo de Hilbert. Además, estás haciendo la suma directa, que ya es más pequeña que el producto tensorial, incluso más pequeña con esa identificación, por lo que esto no puede ser lo mismo que simplemente tomar el producto tensorial. El producto tensorial es la noción correcta (categorial) de producto en la categoría de espacios proyectivos, y la suma directa no lo es; no hay forma de "arreglar" esto.
@ACuriousMind Lo que tengo en mente es el isomorfismo entre la suma directa y el producto directo de espacios de dimensión finita. El espacio vectorial atravesado por(mi1,mi2) conmi1,mi2 en las bases deH1 yH2 , respectivamente, ya no es más pequeño que el producto tensorial. Tampoco hay identificación de diferentes rayos porque esta construcción produce exactamente un producto tensorial.
@ L.Su: Realmente no puedes construir el producto tensorial de esta manera, ya que( do ϕ , do ψ ) = do ( ϕ , ψ ) en la suma/producto directo, y por lo tantodo ( ϕ , ψ ) = ( do ϕ , ψ ) = ( do ϕ , do ψ ) , lo cual es falso en el producto tensorial (( do ϕ ) ⊗ ( do ψ ) =C2( ϕ ⊗ ψ ) ) De todos modos, es un poco complicado innecesariamente: por la propiedad universal del producto tensorial, ya siempre tiene un mapa (¡bilineal!) Del producto/suma directo al producto tensorial. Supongo que no he entendido lo que estás tratando de hacer.
He eliminado las declaraciones incorrectas anteriores y concluyo aquí: necesito agregar dos identificaciones más, como podemos hacer para construir un producto tensorial a partir de dos espacios vectoriales. Lo que hice fue reconstruir el producto tensorial a partir de la suma directa. Como dijiste, es enrevesado. Apeguémonos a tu respuesta.
@ACuriousMind Estimado amigo, ¿podría agregar su discusión con Red Pencil a la respuesta, porque creo que los argumentos que dio fueron muy cruciales? Realmente no entendí cómo calculaste2 (C2+ 1 ) ¿Podrías mostrar eso también en tu respuesta? (y tal vez la versión correcta del mismo cálculo obtenido con⊗ producto). Muchas gracias de antemano.
Esta es una buena respuesta, pero me parece que simplemente lleva la pregunta a "¿por qué los estados físicos están representados por líneas en el espacio de Hilbert, en lugar de vectores individuales en el espacio de Hilbert?" Después de todo, las diferencias de fase entre los componentes dentro de un solo vector de estado puro tienen consecuencias observables físicamente, por lo que ciertamente es lógicamente concebible que las diferencias de fase entre diferentes subsistemas también puedan hacerlo. Creo que al final del día, solo tenemos que recurrir a la evidencia experimental del entrelazamiento.
Tenga en cuenta que la combinación de subsistemas a través de sumas directas en lugar de productos tensoriales no rompería la capacidad de predicción local de QM, porque al igual que el enredo en la imagen habitual, las diferencias de fase entre los subsistemas solo podrían medirse mediante una medición conjunta en ambos subsistemas. Entonces, siempre que solo mida un subsistema, puede volver a escalar el vector de estado de ese subsistema por cualquier constante sin afectar los observables.
De hecho, bajo esta regla para combinar subsistemas, estaríamos completamente justificados al pensar en un solo spin-1/2 como un "sistema conjunto" de dos "subsistemas".| ↑⟩ y| ↓⟩ !

Esto se trata principalmente de su pregunta 2.

Una descomposición del espacio de Hilbert en una suma directa H = H 1 ⊕ H 2 representa que el sistema puede estar en un estado en H 1 , o un estado en H 2 (o una superposición, por supuesto). En tu ejemplo, H = D 3 / 2 ⊕ D 1 / 2 ⊕ D 1 / 2 , el sistema puede estar en estados de espín 3 2 , o girar 1 2 (y superposiciones de los mismos).

Una descomposición del espacio de Hilbert en un producto tensorial H = H 1 ⊗ H 2 representa que el sistema es descrito por un estado de H 1 y un estado de H 2 (y superposiciones de tales estados). Este es naturalmente el caso de los sistemas de múltiples partículas: una descripción del sistema significa dar un estado para cada partícula.

Si el espacio de Hilbert admite una descomposición de suma directa, no hay forma de formar una superposición de dos estados de diferentes subespacios invariantes. Este tipo de fenómeno conduce a los llamados sectores de superselección. Creo que el argumento de la respuesta de ACuriousMind de alguna manera sugiere esto. Entonces, la suma directa no es la forma correcta de componer componentes independientes de un sistema cuántico.
@ Phoenix87: un espacio de dos partículas de espín 1/2 se puede descomponer en una suma directa de un espacio de espín 1 y un espín 0, y aún así, | ↑↓ ⟩ es un estado válido, y una superposición de espín 0 y espín 1. Las reglas de superselección requieren que las matrices de densidad y los observables conmuten con una simetría, es decir, tengan una estructura de suma directa.
Producto tensor vs. Producto directo para tres partículas spin-1/2
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