¿Cómo se puede deducir que las partículas descritas por la ecuación de Dirac deben tener espín 1/2?

Question

¿Cómo se puede deducir que las partículas descritas por la ecuación de Dirac deben tener espín 1/2?

Física
espinores
giro cuántico
ecuación de dirac
mecánica cuántica

doetoe

Estoy leyendo algunas notas de conferencias que desafortunadamente no parecen estar disponibles en línea, pero que tienen un espíritu bastante similar en su tratamiento de la ecuación de Dirac a la "Mecánica cuántica avanzada" de Sakurai. En algún momento el $4\times4$ matrices $\Sigma_k$ se introducen como generadores infinitesimales de la acción de rotaciones sobre espinores de Dirac; para ser precisos, una rotación espacial dada por un vector $\theta$ , cuya dirección es el eje y cuya longitud el ángulo de rotación, actúa como $\exp(-\frac i2\theta\cdot\Sigma)$ . Dado que estos $\Sigma_k$ son bloques diagonales con las matrices de Pauli $\sigma_k$ en la diagonal, ya vemos que los componentes de los espinores de Dirac se transforman por pares como los estados de espín-1/2 bajo rotaciones.

Está claro que el $\Sigma_k$ comportarse formalmente como un operador de momento angular (relaciones de conmutación), pero en estas notas el $\Sigma_k$ surgieron puramente como generadores o rotaciones y no como observables (esto llevó a esta otra pregunta sobre el papel dual de los operadores hermitianos en la mecánica cuántica )

Se puede observar que el momento angular orbital $L$ no es una cantidad conservada, pero $J = L + \frac12\Sigma$ es ( $\hbar$ se establece en 1). Tenemos $\left|\frac12\Sigma\right|^2 = \frac34$ , que corresponde a un número cuántico "orbital" (abstracto) $s = \frac12$ .

De acuerdo con las notas, esto debe interpretarse en el sentido de que una partícula descrita por la ecuación de Dirac debe tener espín $1/2$ .

Mi pregunta es cómo se sigue exactamente esta conclusión. Podría pensar en tres posibles razones, de las cuales tiene que seguir por motivos físicos:

¿Es porque por razones físicas esperamos que se conserve el momento angular total y $\frac12\Sigma$ , que se comporta formalmente como un momento angular, es exactamente la cantidad que falta y, por lo tanto, puede interpretarse como un momento angular intrínseco?
¿Es porque la transformación de un espinor de Dirac bajo rotaciones es similar a la de las partículas de espín 1/2 identificadas de manera ad-hoc antes de la ecuación de Dirac?
¿Tiene que ver con el hecho de que $\Sigma$ Cuál es el generador infinitesimal de rotaciones en el "factor de tensor" de dimensión finita del espacio de estado que puede considerarse como correspondiente a "grados de libertad no clásicos"?

¿Alguno de estos hechos es una razón convincente para llegar a la conclusión de que una partícula descrita por la ecuación de Dirac tiene spin 1/2? Si es así, ¿por qué?

Respuestas (2)

¿Cómo se puede deducir que las partículas descritas por la ecuación de Dirac deben tener espín 1/2?

petirrojo · Answer 1

La pregunta pone el carro delante del caballo. No es que deduzcas que las partículas descritas por la ecuación de Dirac tienen espín $\frac 1 2$ . Más bien, la ecuación de Dirac se encuentra como la ecuación de espín $\frac 1 2$ partículas Un espinor de Dirac $\psi$ es un elemento de la representación $(0,\frac 1 2) \oplus (\frac 1 2, 0)$ del grupo Lorentz. ¹ En ambos subespacios los generadores de rotaciones están implementados de manera que $J^2 = \frac 3 4$ , es decir, girar $\frac 1 2$ . Por definición, los espinores de Dirac tienen espín $\frac 1 2$ .

La acción invariante de Lorentz de orden más bajo que podemos construir con un espinor de Dirac es

L = ψ^{†} γ^{0} (i \partial_{m} γ^{m} + metro) ψ

$\mathcal L = \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_\mu \gamma^\mu + m)\psi$ para algún parámetro

m

$m$ con la dimensión de masa, que claramente tiene como ecuaciones de campo la ecuación de Dirac.

¹ Para comprender lo que esto significa con todos los detalles sangrientos, consulte ¿Cómo construyo el

S U (2)

$SU(2)$ representación del Grupo Lorentz utilizando

S U (2) \times S U (2) \sim S O (3, 1)

$SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)$ ? Para un tratamiento menos matemático ver Weinberg, vol I, Capítulo 2, y también Capítulo 5.

gracias robin Supongo que el orden del caballo y el carro depende del enfoque que uno tenga de la ecuación. Por lo que entendí, Dirac formuló su ecuación sin ideas preconcebidas sobre el espín, y luego observó que las partículas descritas por ella tenían espín 1/2, un hecho que según esas notas que mencioné antes (y que no pude encontrar en línea) incluso lo sorprendió mucho.
En realidad, si calcula el momento angular que posee el Lagrangiano de Dirac, encontrará que el valor es 1/2.

ZHANG Juenjie · Answer 2

Podemos obtener el espín de un electrón a partir de la ecuación de Dirac. Las razones por las que los electrones tienen dos polarizaciones de espín se deben a: La dimensión del espacio físico-tiempo es 4 ¿ Por qué no construimos un espinor de espín 1/4? . Por lo tanto, si queremos construir un espacio de espines, necesitamos al menos cuatro vectores base. Para los fermiones, podemos usar dos vectores de bases complejas para construir un espinor (por lo tanto, dos estados de polarización de espín). Esto se debe a que estos dos podrían proporcionar cuatro variables independientes ya que son complejas. Esto se puede ver fácilmente desde abajo:

La palabra giro proviene del hecho de que cuando tratamos de hacer un vínculo o mapa entre el espacio de giro y el espacio físico real, necesitamos, localmente, el álgebra de Lie, que es responsable del comportamiento de giro: SU(2)~SO (3) localmente.

¿Cómo se puede deducir que las partículas descritas por la ecuación de Dirac deben tener espín 1/2?

doetoe

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doetoe

gentil

ZHANG Juenjie

Evaluación de la matriz σμνFμν=iα⋅E+Σ⋅BσμνFμν=iα⋅E+Σ⋅B\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=i\alpha \cdot E+\Sigma\cdot B, dependiente del espín término en la ecuación cuadrática de Dirac

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