¿Cómo conmutar el momento angular y el giro en la ecuación de Dirac?

En mi problema estoy mirando un giro-$\frac{1}{2}$partícula con carga q, que está representada por algún espinor de Dirac$\Psi$resolviendo la ecuacion de dirac

$$i\partial_t\Psi = \hat{H}\Psi$$ con el operador de Dirac dado $\hat{H} := c\alpha_i(\hat{p} - \frac{q}{c}A^i) + \beta mc^2+\mathbb{1_{4x4}}q\Phi$, dónde $\alpha_i=\left(\begin{matrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \\ \end{matrix}\right)$y $\beta=\left(\begin{matrix} \mathbb{1_{4x4}} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1_{4x4}} \\ \end{matrix}\right)$utilizando las matrices de Pauli $\sigma_i$y una matriz unitaria de 4x4 $\mathbb{1_{4x4}}$.

La tarea original es mostrar las relaciones de conmutación$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{J}^k$,$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^2\right]=0$. Mostrar el primero debería resultar automáticamente en mostrar el segundo con algunas reglas de conmutación, pero mi problema es con$\hat{J}^i:= \mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i$, calculé:

$$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j+\hat{S}^j\right]$$ ahora usando la relacion de conmutacion $$\left[A+B,C+D\right] = \left[A,C+D\right] +\left[B,C+D\right]= \left[A,C\right]+\left[A,D\right] +\left[B,C\right] +\left[B,D\right]$$ Obtengo cuatro términos: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]$$ definiendo $\hat{L}^i:= \epsilon_{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k$y $\hat{S}^i:=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \\ \end{matrix}\right)$, sigue: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{L}^k\text{ and }\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]=\frac{1}{2}i\hbar^2\sum_{k=1}^3\epsilon^{ijk}\sigma^k\mathbb{1_{2x2}}$$

Mi problema radica ahora en las conmutaciones mixtas.$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]$,$\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]$, que se reducen a algo así como$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Pensé en decir que cambiar los argumentos del conmutador debería dar un signo menos y que los términos mixtos se cancelan entre sí. Esto podría ganarse cambiando los índices en el símbolo de levi-civita ($\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}$) después de cambiar el nombre de i a j y viceversa. Realmente no sé si puedo hacer eso e incluso cuando lo hago no obtengo los resultados correctos. Calcular directamente los conmutadores me parece dificil, pues no se como resolver$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Espero que mi problema se exprese con la suficiente claridad y una pista de lo que me estoy perdiendo sería genial.

Esta es mi primera publicación, por lo que algunos consejos sobre cómo publicar siempre son bienvenidos. ¡Gracias!