Comprensión del comportamiento de un gas de Bose que interactúa

Question

Comprensión del comportamiento de un gas de Bose que interactúa

Física
muchos cuerpos
interacciones
materia Condensada
mecánica estadística
bose-einstein-condensado

SRS

De la distribución de Bose-Einstein se deduce que un gas de Bose que no interactúa se condensa en el condensado de Bose-Einstein por debajo de cierta temperatura crítica. Lo que sucede cuando se introducen interacciones en un gas Bose no se trata en los cursos de introducción a la mecánica estadística. Por lo tanto, mis preguntas son bastante ingenuas y básicas.

¿Cómo se modelan cuantitativamente las interacciones en un gas de Bose y cómo cambia el comportamiento (en comparación con el gas de Bose que no interactúa) cuando se baja la temperatura? ¿Hay alguna manera de comprender físicamente el cambio en el comportamiento, si lo hay?

Como comentario menor, me han informado que en el caso de los gases de Fermi, el papel de las interacciones cambia la masa efectiva de $m\to m^*$ y los niveles de energía (mapeando efectivamente el sistema que interactúa con un sistema de cuasipartículas que todavía obedecen las estadísticas de FD). ¿Ocurre lo mismo aquí también?

Rococó

Entonces, ¿el título de esta pregunta debería ser "Comprender el comportamiento de un gas Bose que interactúa"?

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Comprensión del comportamiento de un gas de Bose que interactúa

Entonces, ¿el título de esta pregunta debería ser "Comprender el comportamiento de un gas Bose que interactúa"?

Tomás · Answer 1

1) Primero tenga en cuenta que un gas de Bose que no interactúa es una idealización. Si el gas realmente no interactuara, entonces sería imposible enfriarlo por enfriamiento evaporativo (o cualquier otro método que elimine energía y requiera que el gas se vuelva a equilibrar).

2) En un gas Bose, la parte de corto alcance de la interacción tiene que ser repulsiva (de lo contrario, el gas colapsará a baja temperatura). Un modelo típico es una función delta repulsiva

V (X_{1}, X_{2}) = \frac{4 π a}{metro} d (X_{1} - X_{2})

$V(x_1,x_2)=\frac{4\pi a}{m} \delta(x_1-x_2)$ controlado por la longitud de dispersión de la onda s

a

$a$ . De hecho, para un gas diluido esto no es un modelo sino una descripción sistemática de las propiedades de baja energía.

3) En un gas que no interactúa, la condensación de Bose tiene lugar a la temperatura de Einstein.

T_{C} = \frac{2 π}{metro} {(\frac{norte}{ζ (3 / 2)})}^{2 / 3} .

$T_c = \frac{2\pi}{m}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}.$ El cambio principal debido a (repulsivo,

a > 0

$a>0$ ) interacciones es

Δ T_{C} ≃ 1.3 a {norte}^{1 / 3} T_{C}

$\Delta T_c \simeq 1.3 an^{1/3} T_c$ lo cual, incluso en un gas que interactúa fuertemente como el helio, no es un gran cambio.

4) El estudio sistemático de la teoría de perturbaciones en $a$ vuelve a Bogoliubov. Encontró, por ejemplo, que la relación de dispersión de cuasi-partículas en un fluido condensado de Bose es

ϵ_{pag} = \frac{1}{2 metro} \sqrt{({pag}^{2} + 8 π a norte)^{2} - (8 π a norte)^{2}}

$\epsilon_p = \frac{1}{2m}\sqrt{(p^2+8\pi an)^2-(8\pi an)^2}$ que interpola suavemente entre un modo Goldstone a baja

p

$p$ , y átomos que no interactúan en general

p

$p$ .

5) Y, de hecho, como se comenta a continuación, puede tomar la interacción en (2) y tratarla en una aproximación de campo medio. Esto conduce a una ecuación de Schroedinger no lineal (la ecuación de Gross-Pitaevski) para la función de onda del condensado. Esta ecuación se puede utilizar para estudiar perfiles de nubes, modos colectivos, etc.

¿No debería haber también una atracción (al menos) a larga distancia porque una vez que se ocupa un estado fundamental degenerado, hay una mayor afinidad para que los otros bosones ocupen el estado ya lleno? @Tomás
Por supuesto, las estadísticas de Bose se tienen en cuenta en el cálculo. Lo que entendemos por "interacción" es la interacción hamiltoniana de dos partículas en el espacio libre. De hecho, es cierto que la parte de largo alcance de la interacción de dos partículas neutras es casi siempre atractiva (la fuerza de Casimir-Polder-van-der-Waals). Lo que le importa al gas condensado Bose (diluido) es la interacción de onda s de corto alcance, que tiene que ser repulsiva.
Permítanme decir que tomar el potencial $V(x_1,x_2)$ conduce a la ecuación de Gross-Pitaevskii, que es el punto de partida de la mecánica cuántica en el estudio de la interacción de los gases de Bose: $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = [- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \nabla^{2} + V (\vec{r}) + gramo norte | ψ |^{2}] ψ$ $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) + gN|\psi|^2 \right]\psi$

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