¿Cómo explicar el BEC del bosón que no interactúa en la segunda cuantización? ¿Cómo romper espontáneamente la simetría U(1)U(1)U(1) del bosón libre?

Question

¿Cómo explicar el BEC del bosón que no interactúa en la segunda cuantización? ¿Cómo romper espontáneamente la simetría U(1)U(1)U(1) del bosón libre?

Física
materia Condensada
transición de fase
mecánica estadística
bose-einstein-condensado

Anónimo

Cada libro de texto de mecánica estadística derivará la condensación de Bose-Einstein (BEC) del bosón libre. Sé cómo derivar de esta manera. Da la capacidad calorífica del bosón libre es $C\propto T^{3/2}$ . Pero para $He^4$ ese es un bosón que interactúa que sabemos $C\propto T^3$ . Entonces, para explicar esto, cada libro de texto de materia condensada utilizará la segunda cuantización para reescribir el hamitoniano original de muchos cuerpos en el formalismo de campo. Para el bosón que interactúa, el hamitoniano de campo es

H = \int d^{3} X \frac{1}{2 metro} | \nabla ϕ |^{2} + tu | ϕ (X) |^{2} + gramo | ϕ (X) |^{4}

$H=\int d^3 x \frac{1}{2m} |\nabla\phi|^2 + U |\phi(x)|^2 + g |\phi(x)|^4$ Para helio 4,

U < 0

$U<0$ y

g > 0

$g>0$ , por lo que la configuración de campo de energía mínima es

ϕ = c o n s t . \neq 0

$\phi = const.\neq0$ , por lo que hay una ruptura de simetría espontánea de

U (1)

$U(1)$ , y debido al teorema de Goldstone da una excitación sin masa que explica la

C \propto T^{3}

$C\propto T^3$ .

Todo es razonable arriba. Sin embargo, ¿cómo usar la segunda cuantificación para explicar el BEC del bosón que no interactúa?

Mis preguntas:

Para el bosón libre, el campo hamitoniano es ahora
$H = \int d^{3} X \frac{1}{2 metro} | \nabla ϕ |^{2}$ $H=\int d^3 x \frac{1}{2m} |\nabla\phi|^2$ El punto de silla de la configuración de campo es ahora $\phi(x)=const.$ para $\forall const. \in \mathbb{C}$ , no es necesario que sea distinto de cero. ¿Cómo explicar el número de ocupación macroscópica del estado fundamental?
¿Cómo usar el hamitoniano de campo para explicar el BEC del bosón que no interactúa en un pozo de potencial, como un pozo de potencial armónico? En este caso,
$H = \int d^{3} X \frac{1}{2 metro} | \nabla ϕ |^{2} + \frac{1}{2} X^{2} | ϕ (X) |^{2}$ $H=\int d^3 x \frac{1}{2m} |\nabla\phi|^2 + \frac{1}{2} x^2 |\phi(x)|^2$ Ciertamente, la configuración de energía mínima es $\phi(x)=0$ .
Ciertamente, los dos casos anteriores deben poder tener BEC. Entonces, para el bosón libre y el bosón que no interactúa en un pozo de potencial, ¿BEC rompe espontáneamente el $U(1)$ ¿simetría? En caso afirmativo, debe existir una excitación sin masa debido al teorema de Goldstone , entonces, ¿por qué la capacidad calorífica del bosón libre no es proporcional a $T^3$ ? Si no, contradirá el paradigma de transición de fase de Landau de que la SSB da como resultado la transición de fase de segundo orden. ¿Cómo explicar? Relacionado con mi otra pregunta .

tonio

El fenómeno de condensación aparece al considerar la física del equilibrio asociada a un hamiltoniano dado. Escribir el hamiltoniano en primera o segunda cuantificación no debería suponer ninguna diferencia a la hora de construir el escenario de equilibrio. En cuanto al teorema de Goldstone, ¿estás seguro de que es la razón de la

C \propto T^{3}

$C \propto T^3$ ? También podría estar relacionado con la relación de dispersión que difiere para los bosones que interactúan.

usuario153663

@Tony

C \propto T^{3}

$C\propto T^3$ siempre está relacionada con la relación de dispersión de

ϵ (p) \propto p

$\epsilon(p)\propto p$ en 3 dimensiones. Esa es una excitación sin masa.

tonio

De acuerdo,

ϵ (p) \propto p

$ϵ(p) \propto p$ en bajo

p

$p$ de hecho, solo es cierto para los bosones que interactúan. Pero

ϵ (p) \propto p^{2}

$ϵ(p) \propto p^2$ me parece sin masa.

usuario153663

@Tony

ϵ (p) \propto p^{2}

$\epsilon (p) \propto p^2$ es una excitación masiva. El coeficiente de este radio está relacionado con la masa.

tonio

No, es sin masa,

ϵ (p) \propto p^{2} + m

$ϵ(p) \propto p^2 + m$ es masivo

usuario153663

@Tony ¿Quieres decir que sin masa?

\Leftrightarrow

$\Leftrightarrow$ sin espacios, masivo

\Leftrightarrow

$\Leftrightarrow$ ¿brechado?

usuario153663

Continuemos esta discusión en el chat .

AlQuemista

Creo que su comprensión de BEC no es correcta; en el nivel de campo medio, para estar en la fase condensada, el valor esperado del campo,

⟨ ϕ ⟩

$\langle \phi \rangle$ , no debe desaparecer; esto es diferente del valor del campo que minimizaría la acción clásica. Las fluctuaciones (térmicas o cuánticas) intentarían destruir este valor esperado de campo medio que no desaparece, lo que conducirá a una ruptura de la fase condensada (ordenada).

AlQuemista

En segundo lugar, un BEC se define por un valor esperado "anómalo" (distinto de cero) para el campo; es decir,

0 \neq ⟨ ϕ ⟩ \in C

$0 \neq \langle \phi \rangle \in \mathbb{C}$ , no solo un valor constante del campo que puede minimizar la acción clásica.

parker

Los BEC que no interactúan no rompen espontáneamente el

U (1)

$U(1)$ simetría. La ruptura espontánea de la simetría solo puede ocurrir cuando tiene un número infinito de grados de libertad que interactúan.

Respuestas (1)

¿Cómo explicar el BEC del bosón que no interactúa en la segunda cuantización? ¿Cómo romper espontáneamente la simetría U(1)U(1)U(1) del bosón libre?

El fenómeno de condensación aparece al considerar la física del equilibrio asociada a un hamiltoniano dado. Escribir el hamiltoniano en primera o segunda cuantificación no debería suponer ninguna diferencia a la hora de construir el escenario de equilibrio. En cuanto al teorema de Goldstone, ¿estás seguro de que es la razón de la $C \propto T^3$ ? También podría estar relacionado con la relación de dispersión que difiere para los bosones que interactúan.
@Tony $C\propto T^3$ siempre está relacionada con la relación de dispersión de $\epsilon(p)\propto p$ en 3 dimensiones. Esa es una excitación sin masa.
De acuerdo, $ϵ(p) \propto p$ en bajo $p$ de hecho, solo es cierto para los bosones que interactúan. Pero $ϵ(p) \propto p^2$ me parece sin masa.
@Tony $\epsilon (p) \propto p^2$ es una excitación masiva. El coeficiente de este radio está relacionado con la masa.
@Tony ¿Quieres decir que sin masa? $\Leftrightarrow$ sin espacios, masivo $\Leftrightarrow$ ¿brechado?
Creo que su comprensión de BEC no es correcta; en el nivel de campo medio, para estar en la fase condensada, el valor esperado del campo, $\langle \phi \rangle$ , no debe desaparecer; esto es diferente del valor del campo que minimizaría la acción clásica. Las fluctuaciones (térmicas o cuánticas) intentarían destruir este valor esperado de campo medio que no desaparece, lo que conducirá a una ruptura de la fase condensada (ordenada).
En segundo lugar, un BEC se define por un valor esperado "anómalo" (distinto de cero) para el campo; es decir, $0 \neq \langle \phi \rangle \in \mathbb{C}$ , no solo un valor constante del campo que puede minimizar la acción clásica.
Los BEC que no interactúan no rompen espontáneamente el $U(1)$ simetría. La ruptura espontánea de la simetría solo puede ocurrir cuando tiene un número infinito de grados de libertad que interactúan.

Dominic Else · Answer 1

Como se indicó en los comentarios, el hecho de que $\phi = 0$ minimiza la acción clásica no es suficiente para establecer la ausencia de SSB. De hecho, incluso calculando el valor esperado $\langle \phi(x) \rangle$ No es suficiente; de hecho, este valor esperado siempre es cero cuando se calcula con respecto al conjunto grancanónico (es un ejercicio divertido probar esto). Más bien, la forma correcta de diagnosticar la ruptura espontánea de la simetría es a través de la amplitud de rango de la correlación de dos puntos.

\underset{| X - y | \to \infty}{límite} ⟨ ϕ^{†} (X) ϕ (y) ⟩

$\lim_{|x - y| \to \infty} \langle \phi^{\dagger}(x) \phi(y) \rangle$ Cuando hay SSB, este va a un valor distinto de cero, de lo contrario va a cero. De hecho, al expresar

ϕ (x)

$\phi(x)$ como la transformada de Fourier del operador de aniquilación de fermiones

a_{k}

$a_k$ en el espacio de cantidad de movimiento, se encuentra que este límite es en realidad igual a la ocupación macroscópica del

k = 0

$k=0$ estado, que es distinto de cero incluso para bosones libres.

En cuanto a la cuestión de los bosones de Goldstone, un BEC que no interactúa tiene excitaciones sin espacios; simplemente agrega un bosón más en un estado que no sea el $k=0$ estado. Pero como son partículas no relativistas, la relación de dispersión es $E \sim k^2$ . Esto da correctamente un $\sim T^{3/2}$ calor especifico. Conseguir un $\sim T^3$ calor específico necesitarías una relación de dispersión lineal $E \sim |k|$ , que es lo que sucede en el caso de interacción. En sistemas no relativistas, el teorema de Goldstone no requiere necesariamente que los bosones de Goldstone tengan dispersión lineal; otro ejemplo de un caso en el que se obtiene una dispersión cuadrática son las excitaciones de ondas de espín de los ferromagnetos.

¿Cómo explicar el BEC del bosón que no interactúa en la segunda cuantización? ¿Cómo romper espontáneamente la simetría U(1)U(1)U(1) del bosón libre?

Anónimo

tonio

usuario153663

tonio

usuario153663

tonio

usuario153663

usuario153663

AlQuemista

AlQuemista

parker

Respuestas (1)

Dominic Else

¿La condensación de Bose-Einstein depende de las condiciones de contorno?

¿Por qué la no analiticidad de la función de energía libre implica una transición de fase? ¿Y cuál es su conexión con otras energías libres de 'nivel superior'?

¿Por qué la capacidad calorífica no diverge en la transición de fase Kosterlitz-Thouless (KT)?

Ruptura espontánea de simetría a una temperatura finita TTT: ¿Cómo se describe el estado en función de TTT?

¿Las transiciones de fase de primer orden están siempre asociadas con un calor latente?

tratando de entender el condensado de Bose-Einstein (BEC)

Transición de fase a temperatura cero (no QPT)

Confusión sobre la transición de fase de segundo orden entre la clasificación Ehrenfest y la clasificación moderna

¿Todo es sólido a 0 K?

¿Los estados q de Potts se convierten en el modelo XY en un estado q grande?