Aproximación de sumas como integrales y términos divergentes

Question

Aproximación de sumas como integrales y términos divergentes

Física
muchos cuerpos
integración
aproximaciones
mecánica estadística

DR10

Tengo la siguiente suma (observe que la suma comienza desde 2, es decir, no hay divergencia):

\sum_{i = 2}^{norte} C_{i} \frac{Exp (- k | R_{i} - R_{1} |)}{| R_{i} - R_{1} |}

$\sum_{i=2}^{N}C_i\dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1| \right) }}{| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1|}$

Dónde $\mathbf{R}_i$ son vectores pertenecientes a $\mathbb{R}^3$ y están encerrados en algún volumen $V$ (Representan las posiciones de algunos átomos). $C_i$ es una función que se comporta bien (también podríamos tomarla como 1).

Ahora supongamos que quiero aproximar esta suma como una integral, en el límite donde $N \rightarrow \infty$ y los átomos en la posición $\mathbf{R}_i$ están densamente cerca uno del otro. Mi respuesta tentativa sería escribir:

\underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{i = 2}^{norte} C_{i} \frac{Exp (- k | R_{i} - R_{1} |)}{| R_{i} - R_{1} |} = \int_{V} d^{3} R \frac{Exp (- k | R - R_{1} |)}{| R - R_{1} |} ρ (R) C (R)

$\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=2}^{N}C_i \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1| \right) }}{| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1|} = \int_V d^3\mathbf{R} \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}| \right) }}{| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}|} \rho(\mathbf{R}) C(\mathbf{R})$ Donde en este límite:

$\mathbf{R}:=\mathbf{R}_i$ , y $\rho(\mathbf{R})=\dfrac{N}{V}$

¿Es esto de alguna manera riguroso? Creo que tiene sentido ya que a menudo vi un procedimiento similar en Mecánica Estadística.

Ahora, ¿qué pasa con el término $\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_1$ ? En la suma ese término es divergente y no está incluido. Pero en la integral es algo imposible excluirlo, y no da ningún problema ya que su divergencia parece ser cancelada por la integración en 3 variables.

¿Hay alguna forma de convencerme de que el error que estoy cometiendo es insignificante?

por simetría

¿Cómo estás determinando los puntos?

R_{i}

$\mathbf{R}_i$ ? ¿Qué sucede exactamente cuando tomas el límite como

N \to \infty

$N\rightarrow\infty$ ? Espero que la respuesta sea probablemente , que esto convergerá al valor del principio de Cauchy de la integral (que es probablemente lo que habrías calculado ingenuamente de todos modos) pero, dependiendo de qué tan riguroso quieras ser, probar eso puede ser bastante doloroso.

DR10

Aquí está el problema: los puntos

R_{i}

$\mathbf{R_i}$ son una salida en el cálculo que estoy haciendo. Supongo que uno puede suponer que están a la misma distancia uno del otro por el momento. Ser particularmente riguroso no es en sí mismo un requisito, se trata más de justificar la inclusión del término

i = 1

$i=1$ . Con respecto al valor del principio de Cauchy: ¿puedo decir que si la integral converge escrita así, entonces coincide con su valor del principio?

por simetría

Si la integral es convergente en el sentido estándar, entonces debería estar de acuerdo con el CPV

DR10

¿Hay alguna forma de expresar este límite continuo como el límite de una suma de Riemann o como una consecuencia del teorema de Euler McLaurin para obtener una estimación del error?

Respuestas (1)

Aproximación de sumas como integrales y términos divergentes

¿Cómo estás determinando los puntos? $\mathbf{R}_i$ ? ¿Qué sucede exactamente cuando tomas el límite como $N\rightarrow\infty$ ? Espero que la respuesta sea probablemente , que esto convergerá al valor del principio de Cauchy de la integral (que es probablemente lo que habrías calculado ingenuamente de todos modos) pero, dependiendo de qué tan riguroso quieras ser, probar eso puede ser bastante doloroso.
Aquí está el problema: los puntos $\mathbf{R_i}$ son una salida en el cálculo que estoy haciendo. Supongo que uno puede suponer que están a la misma distancia uno del otro por el momento. Ser particularmente riguroso no es en sí mismo un requisito, se trata más de justificar la inclusión del término $i=1$ . Con respecto al valor del principio de Cauchy: ¿puedo decir que si la integral converge escrita así, entonces coincide con su valor del principio?
Si la integral es convergente en el sentido estándar, entonces debería estar de acuerdo con el CPV
¿Hay alguna forma de expresar este límite continuo como el límite de una suma de Riemann o como una consecuencia del teorema de Euler McLaurin para obtener una estimación del error?

martino · Answer 1

hacer una sustitución $\mathbf R' = \mathbf R - \mathbf R_1$

\int_{V} d^{3} R \frac{Exp (- k | R - R_{1} |)}{| R - R_{1} |} ρ (R) C (R) = \int_{V^{'}} d^{3} R^{'} \frac{{mi}^{- k | R^{'} |}}{| R^{'} |} ρ (R + R_{1}) C (R + R_{1})

$\int_V d^3\mathbf{R} \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}| \right) }}{| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}|} \rho(\mathbf{R}) C(\mathbf{R}) = \int_{V'} d^3\mathbf{R'} \dfrac{e^{-k| \mathbf{R}'| }}{| \mathbf{R}'|} \rho(\mathbf{R+\mathbf R_1}) C(\mathbf{R}+\mathbf R_1)$

Pasemos ahora a las coordenadas polares centradas en $\mathbf R_1$ , con $r' = |\mathbf R'|$ . Ahora podría ser bastante difícil convertir $\rho$ y $C$ a coordenadas polares en este marco de referencia, dependiendo de las simetrías de su problema. Si, como sospecho, $\rho$ es desconocido y se encontrará utilizando esta integral, entonces no debería tener ningún problema. Pero no lo sé, y espero que esto ayude de todos modos.

. . . = \int r {mi}^{- k r} ρ (r, θ, ϕ) C (r, θ, ϕ) d θ d ϕ d r .

$... = \int re^{-kr}\rho(r,\theta,\phi) C(r, \theta, \phi) \,d\theta d\phi dr.$

Observe que el cambio de coordenadas introdujo un $r^2$ factor.

Esto muestra (¡a menos que me esté perdiendo algo!) que tu integral no diverge, si $\rho$ y $C$ se portan bien.

Aproximación de sumas como integrales y términos divergentes

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por simetría

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