¿Cómo se acumula la función de onda macroscópica desde un valor cero hasta un valor distinto de cero?

Describiré aquí un principio general de la formación de un condensado por medio de enfriamiento. Este principio debería ser esencialmente válido para todos los casos, como BEC, BCS, superfluidez, etc.

La descripción dada aquí es solo a nivel conceptual, modelo de juguete. Los detalles de la implementación teórica y experimental en un caso realista son mucho más complicados. La implementación real puede diferir significativamente entre los distintos casos y entre los métodos experimentales.

Para un sistema con ruptura de simetría espontánea, el estado fundamental condensado macroscópico es un estado coherente; véase, por ejemplo, el razonamiento dado en la sección 2 del siguiente trabajo de Yulakov, en el caso de la condensación de Bose-Einstein. En esta descripción, la función de onda macroscópica es el valor propio del operador de campo$\hat{\Psi}(\mathbf{r})$:

$$\hat{\Psi}(\mathbf{r}) |\Phi \rangle = \psi(\mathbf{r}) |\Phi \rangle$$

$|\Phi \rangle$es el estado fundamental macroscópico, y$\psi(\mathbf{r})$es la función de onda macroscópica.

Así, formalmente el estado macroscópico se puede escribir como:

$$|\Phi \rangle = e^{\int \psi(\mathbf{r}) a^{\dagger}(\mathbf{r})) dr} |0 \rangle$$

Dónde$|0 \rangle$es el vacío ininterrumpido y$a^{\dagger}(\mathbf{r})$son los operadores de creación en la ubicación$\mathbf{r}$(Por supuesto, esta ecuación es una generalización teórica de campo del estado coherente monomodo:$e^{\alpha a^{\dagger}}|0 \rangle$.

El proceso de enfriamiento debe transformar el estado del sistema de un estado térmico al estado coherente descrito anteriormente. Por supuesto, la dinámica del proceso de enfriamiento no puede ser hamiltoniana, ya que la dinámica hamiltoniana no puede convertir un estado mixto en un estado puro. Sin embargo, la dinámica del proceso de enfriamiento puede aproximarse mediante Lindblad dynamis , que generaliza la dinámica de Schrödinger en el caso de sistemas abiertos o estocásticos. Lindblad dynamis puede describir la disipación y también puede describir el proceso de purificación anterior. Los detalles completos en nuestro caso pueden depender del método de enfriamiento y del sistema específico y pueden ser bastante complicados. Por lo tanto, a continuación describiré este proceso en principio en el caso de un solo modo: Cómo evoluciona un estado térmico a un estado coherente:

En la dinámica de Lindblad, la evolución del operador de densidad viene dada por:

$$\dot{\rho} = \frac{i}{\hbar} [H, \rho] + \mu L \rho L^{\dagger} - \frac{1}{2} \{ L^{\dagger} L, \rho \}$$ Esta ecuación conserva la traza de la matriz de densidad en 1. El primer término es el término hamiltoniano habitual. El operador $L$es el operador de Lindblad. La elección del operador Lindblad controla la disipación o la purificación en nuestro caso. En el caso de que el hamiltoniano sea lineal $$H = - i (\bar{\lambda} a - \lambda a^{\dagger})$$

y se elige el operador de Lindblad para que sea el operador de aniquilación$L=a$, el sistema de Lindblad evoluciona hacia el estado coherente$e^{\alpha a^{\dagger}}$, con$\alpha = \frac{2 \lambda}{\mu}$de cada estado inicial en el que comienza.

El siguiente trabajo de Barnett explica el punto anterior en detalle. Explica también la estabilidad del estado coherente en comparación con los estados numéricos.

La propiedad de ciertos operadores de Lindblad de hacer que la dinámica converja en un estado coherente es general y no se limita al caso monomodo anterior.

Ahora, durante el proceso de evolución, la matriz de densidad interpola entre el estado térmico inicial y el estado coherente final. Barnett elige la fidelidad:

$$F = \langle \Phi_{\infty} | \rho(t) |\Phi_{\infty} \rangle$$

como medida de este proceso de purificación ($|\Phi_{\infty} \rangle$es el estado estacionario). En nuestro caso, la fidelidad comienza en un número muy pequeño para el estado térmico y llega a uno cuando el sistema se convierte en un condensado completo.

Como mencioné anteriormente, hay muchos más detalles en la implementación real del proceso de enfriamiento, consulte la siguiente presentación para obtener algunos detalles adicionales.