¿Cómo funciona el método del proyector Monte Carlo?

El operador del proyector está dado por,

$$\begin{equation} \hat{P} = e^{-\tau \hat{H}} \end{equation}$$

Tenemos que demostrar que$| \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle$en el grande$m$límite da,$| \phi^{m} \rangle = | \psi \rangle$.

$$\begin{align} | \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau \hat{H}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau E_{\alpha}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = | \psi \rangle \end{align}$$

En el límite de grandes$m$y fijo$\tau$, la proyección eliminará todos los estados con alta energía y solo el estado fundamental (la energía más baja, es decir,$E_{0}$) sobrevivirá. Hemos asumido que el estado fundamental no es degenerado (¡único!). En caso de vacío degenerado, hay alguna ralentización crítica.