Estaba pensando en formas de asociar secuencias binarias con elementos de un grupo. Se me ocurrió un grupo y me preguntaba si tiene un nombre estándar o si se puede describir fácilmente en términos de objetos bien estudiados. (La construcción me parece interesante, ¡pero prefiero no reinventar la rueda!)
La construcción es como sigue. Dejar sea el conjunto de todas las sucesiones binarias, por lo que cualquier elemento es un mapa . Definir un mapa (que considero como "ciclo") que cambia el elemento cero de una secuencia de 0 a 1, o de 1 a 0. Es decir, para una secuencia , tenemos:
Note que estos mapas y son invertibles. Tenemos , ya que cambiar el elemento cero dos veces de cualquier secuencia deja la secuencia sin cambios. el inverso de actúa desplazando todos los elementos de una secuencia de entrada hacia la izquierda. Definir el "grupo de fábrica de secuencias binarias", , ya que el conjunto generado por estas operaciones y , con composición de elementos de grupo dada por composición de funciones.
Este grupo tiene un número infinito de elementos, lo que corresponde al hecho de que hay un número infinito de secuencias binarias. Además, este grupo no es conmutativo (por ejemplo, es diferente de ). Sin embargo, se genera mediante dos operaciones bastante simples.
¿Este grupo tiene un nombre estándar? ¿O se puede construir de alguna manera estándar a partir de grupos bien conocidos? ¿Se puede describir este grupo simplemente en términos de alguna presentación?
De hecho, este es un grupo bien estudiado conocido como el "grupo de los faroleros". Puede encontrar mucha información al respecto con solo buscar ese nombre. El nombre proviene de imaginar una fila infinita de lámparas y una persona caminando encendiéndolas y apagándolas. Su hace que la persona encienda o apague la lámpara en la que se encuentra actualmente, y su hace que la persona pase a la siguiente lámpara de la fila. Tiene una presentación simple en términos de estos dos generadores: solo necesitas las relaciones y eso viaja con para cualquier .
(Tenga en cuenta que no es algo obvio que su descripción del grupo como permutaciones del conjunto es isomorfo a la definición habitual del grupo de los faroleros. La diferencia es que la definición habitual también realizaría un seguimiento de la ubicación actual de la persona, por lo que estaría actuando no sobre pero en donde la segunda coordenada es la ubicación actual (entonces lo ignora y lo cambia por ). Esto tiene como resultado que el grupo de faroleros actúe libremente sobre (y simple y transitivamente en dónde es el conjunto de sucesiones que tienen un número finito de s), mientras que no actúa libremente sobre su , ya que por ejemplo fija cualquier secuencia constante. En consecuencia, a priori la acción del grupo de faroleros sobre podría dejar de ser fiel, para que su no es el grupo de los faroleros en sí, sino un cociente de él. Sin embargo, no es demasiado difícil ver que este no es el caso: por ejemplo, si toma cualquier secuencia que no es eventualmente periódico, entonces el grupo de faroleros actuará libremente en la órbita de .)