Buscando una definición de R[[G]], es decir, series de potencias formales en grupos

Dejar$R$sea ​​un anillo conmutativo y sea$G$ser un grupo (o más generalmente un monoide). Hay algo que merece ser llamado álgebra de grupos completa$R[[G]]$, aunque puede que no sea exactamente lo que esperabas. Como dice Espen, en general dado un anillo$S$y un ideal de dos caras$I$de ese anillo hay un$I$-compleción ádica dada por el límite cofiltrado de los cocientes$S/I^n$. Cuando$S = R[x_1, \dots x_n]$es un anillo polinomial que podemos tomar$I = (x_1, \dots x_n)$y la terminación resultante es un anillo formal en serie de potencias.

Cuando$S = R[G]$es un álgebra de grupos, hay un ideal distinguido diferente por el que preocuparse, a saber, el ideal de aumento , generado por los elementos$g - 1$para todos$g \in G$. La idea intuitivamente es pensar en todos los elementos de$G$como estar cerca de la identidad, y por lo tanto pensar en todos los elementos$g - 1$como siendo pequeño. Entre otras cosas, si$R$contiene$\mathbb{Q}$entonces esto nos permite dar sentido al logaritmo formal

de cada$g \in G$.

Este es un paso en la construcción de la terminación de Malcev . Tenga en cuenta que si establecemos$G = \mathbb{Z}_{\ge 0}$, de modo que$R[G] \cong R[x]$, entonces$R[[G]]$no es$R[[x]]$; más bien, es$R[[x - 1]]$.

Asumiendo que quieres una versión de$R[G]$donde se toman sumas infinitas en lugar de sumas finitas, no hay generalización en general, por la sencilla razón de que las sumas infinitas en anillos no se definen en general. La razón por la cual la transición funciona en el caso clásico de$\mathbb{Z}_{\geq 0}$, el monoide de los enteros no negativos, es que solo hay un número finito de descomposiciones distintas de un entero no negativo dado en una suma de dos enteros no negativos. Este no es el caso de un monoide/grupo infinito arbitrario.

Tenga en cuenta que incluso$R[[\mathbb{Z}]]$es indefinido y$R[[G]]$es solo$R[G]$para un grupo finito, por lo que realmente está interesado en los monoides aquí. La finalización$R[X]\rightarrow R[[X]]$se da con respecto a la filtración por el ideal$\langle X\rangle$. Si su monoide tiene una filtración similar por un ideal$I$, entonces podrías hacer una terminación similar$R[M]\rightarrow R[[M]]$, pero el resultado dependerá de con qué ideal completes.