¿El sistema de subgrupos cuyo cociente se genera de forma finita, es un sistema inverso?

Esto puede ser excesivo... (de "Propiedades de estructura y finitud de productos subdirectos de grupos" de Bridson y Miller, Ejemplo 3. Porque lo obvio que se debe intentar es enviar$G/(N_1\cap N_2)\hookrightarrow (G/N_1)\times (G/N_2)$, dando un producto subdirecto...)

Dejar$K=\langle a,b\mid R\rangle$ser un$2$-grupo generado que no se presenta de forma finita; dejar$F_1=\langle x,y\rangle$y$F_2=\langle z,w\rangle$ser dos grupos libres. Dejar$\phi_1\colon F_1\to K$sea ​​el mapa del cociente inducido por$x\mapsto a$y$y\mapsto b$, y deja$\phi_2\colon F_2\to K$ser inducido por$z\mapsto a$y$w\mapsto b$.

Dejar$G\leq F_1\times F_2$ser el producto subdirecto

$G$es generado por los elementos$(x,z)$,$(y,w)$, y todos los elementos de la forma$(n,e)$con$n\in N_1$; de hecho, basta con tomar$n$en el conjunto$R$de la descripción de$K$(después de reemplazar$a$y$b$con$x$y$y$). Ningún subconjunto finito de estos elementos puede generar$G$: necesitamos ambos$(x,z)$y$(y,w)$; si tuviéramos un número finito de elementos$(n_1,e),\ldots,(n_m,e)$que junto con$(x,z)$y$(y,w)$generar$G$, entonces$K$sería presentado por$\langle x,y\mid n_1,\ldots,n_m\rangle$, lo que contradice la elección de$K$.

Esto significa$G$no se puede generar de forma finita, ya que podría expresar cada uno de los muchos generadores finitos en términos de muchos de estos generadores especiales finitos, pero ningún conjunto finito genera$G$.

Entonces$G/N_1$y$G/N_2$se generan finitamente, pero$G/(N_1\cap N_2)= G/\{e\}$no es.