Estabilidad de sistemas con polos cero

Tengo una pregunta bastante simple que diría.

Sé que los sistemas que tienen polos reales en el lado derecho del avión inevitablemente serán inestables (al menos para los sistemas LTI).

Pero me confunden los sistemas que tienen polos en el origen con polos en el lado izquierdo del plano.

Por ejemplo digamos que tenemos este tipo de sistemas:

H 1 ( s ) = k s ( 1 + τ s )
H 2 ( s ) = k s ( 1 + τ 1 s ) ( 1 + τ 2 s )
H 3 ( s ) = k s 2 ( 1 + τ s )
τ i > 0

Esos son solo ejemplos entre otros. Si analizo la respuesta a un impulso, tendría sentido para mí que H1 y H2 sean estables, y no H3, ya que la respuesta y3(t) contendría una rampa.

Pero... si compruebo la respuesta a un paso... H1 y H2 ya no son estables (la respuesta de tiempo contiene una rampa).

Entonces, finalmente, mi pregunta se reduce a: ¿En referencia a qué tipo de excitación llamamos estable a un sistema en la jerga de EE? Porque por lo que veo, H1 y H2 pueden considerarse tanto estables como inestables dependiendo de si la excitación U(s) es un impulso o un paso (por ejemplo).

Entonces, ¿solo nos referimos a la función de transferencia (también conocida como respuesta de impulso) "tal cual" (para el análisis de polos) o ... lo siento, estoy confundido?

TL;DR ¿Se consideran estables H1 y H2 y H3 es inestable?

EDITAR: Mi pregunta se refiere a los sistemas de bucle abierto.

Gracias

H1 y H2 tienen 1/s, que es una integración, por lo tanto, para un paso unitario, la salida seguirá aumentando. Esto es lo que hace un integrador pero es estable.
Y H3 tiene dos de ellos.
Como TF del sistema, ninguno de ellos es estable de entrada / salida limitada. Aplica un paso a cualquiera y la respuesta tiende al infinito. Si son TF de bucle abierto, los dos primeros serían estables en bucle cerrado con retroalimentación unitaria (suponiendo que K se elija adecuadamente en H2), pero el tercero no.
Sin embargo, ¿no es un sistema estable un sistema que converge a un valor constante? Entonces, básicamente, si entiendo correctamente, al determinar la estabilidad del sistema mediante el análisis de polos, ¿solo consideramos los polos de la función de transferencia sin ninguna excitación? Lo siento, siento que mi pregunta central no ha sido respondida claramente.
El polo está en cero, así que ni en el plano izquierdo ni en el plano derecho. Esto califica como 'marginalmente estable', por lo que podría decir no estable y no inestable. La estabilidad BIBO es una definición más estricta y, como la ganancia de CC es infinita, los sistemas no son BIBO estables. Pero realmente no sé por qué es necesario colocar una etiqueta en particular en un sistema; el TF cuenta la historia completa.
@Andyaka: Un integrador (ideal) no es estable en el sentido BIBO (entrada limitada-salida limitada). Para una señal de entrada limitada, la salida generalmente no estará limitada.

Respuestas (2)

La función de transferencia de un sistema estable (LTI) necesita tener todos sus polos en el semiplano izquierdo, es decir, cualquier polo s ∞ debe satisfacer

(1) Re ( s ∞ ) < 0

Si esta condición se cumple, entonces cualquier señal de entrada acotada | X ( t ) | ≤ k dará como resultado una señal de salida limitada | y ( t ) | ≤ L con algunas constantes positivas k y L . Este concepto se llama BIBO-estabilidad . Polos en el eje imaginario, es decir, polos con Re ( s ∞ ) = 0 no satisfacen (1), y, en consecuencia, los sistemas con tales polos no son estables en el sentido BIBO.

En algunos contextos, los sistemas con polos en el eje imaginario se denominan marginalmente estables , pero dichos sistemas generalmente producirán salidas ilimitadas para señales de entrada limitadas.

Entonces, los sistemas marginalmente estables pueden producir (por ejemplo, ¿H1 / H2 con una excitación escalonada?), Por ejemplo, una rampa a una señal unida (supongo que te refieres a una señal unida como una señal que converge a una constante sobre infinita), pero aún así ser considerado estable tecnicamente? ¿Correcto? Es un poco "interesante" en el sentido de que no entiendo qué es la estabilidad en el caso marginal entonces... no es estable significa "converge a un valor", que sabemos que una rampa no lo haría. A este punto su vocabulario pero aún...
@Yannick: desde un punto de vista práctico, los sistemas marginalmente estables son inestables porque generalmente producen salidas ilimitadas para entradas limitadas. Para señales de entrada específicas (como un impulso), la salida no explotará, pero tampoco decaerá.
@Yannick Estás hablando de escalones, rampas, etc. Nada de esto tiene que ver con el criterio de estabilidad, el análisis de frecuencia es el punto. Si excita con el generador de barrido, obtiene una frecuencia. respuesta. Todas las señales de CC y el aumento de amplitud con excitación escalonada o rampa no tienen significado.

El punto inestable reside en -1,0j como un atractor, la curva tiene que pasar a una distancia segura - margen de estabilidad, o alpha max. Cada integración pura, gira el plano 90 grados, H1 es 1er orden + 1x integración. Si observa el diagrama de Nyqvist de primer orden, está en el cuadrante 4, agregando una integración, todas las características se rotan en el cuadrante 3. Una regla general es: el número de polos determina el número de cruces del eje xy en el diagrama de Nyqvist.
Con respecto a K, todos los sistemas pueden ser estables o inestables en el control de lazo cerrado. En nuestra jerga el sistema se vuelve inestable cuando pasa el punto de no retorno, es atraído hacia el punto -1 y no escapará, esto quiere decir que comienza a oscilar a la frecuencia natural del sistema.
Lo que está buscando con las respuestas escalonadas en realidad no es la estabilidad, porque su pensamiento es que si la respuesta es una rampa que aumenta sobre todos los límites, este sistema es inestable, pero está equivocado .

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