Retraso y Estabilidad en Sistemas de Retroalimentación Negativa: Confusión

A continuación se muestra un diagrama de bloques que muestra un amplificador operacional en retroalimentación negativa con una red de retroalimentación hecha de un divisor resistivo:

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El bloque rodeado es Op-Amp con 1 y 2 como su pin inversor y no inversor respectivamente. Estoy asumiendo condiciones ideales.

Este siempre sería un sistema estable a menos que haya un retraso en la ruta de retroalimentación. Si damos una entrada de paso al sistema y si el retardo del sistema es pequeño, entonces no habrá un sobreimpulso por encima del voltaje de paso de entrada, pero a medida que aumentamos el retardo, el sistema comenzará a sobreimpulsarse y para un retardo mayor puede volverse inestable. A continuación se muestran los diagramas que muestran el sistema con retardo y su respuesta a la entrada de paso:

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Para este sistema con retraso ideal, leí que si el retraso T d es mayor que π 2 ⋅ k frecuencia de ganancia unitaria , la frecuencia de ganancia unitaria es la ω tu en el diagrama anterior, el sistema se volvería inestable y su salida comenzaría a divergir.

Para el sistema de segundo orden, el diagrama de bloques se muestra a continuación, aquí el elemento de retraso es de primer orden, digamos que es un retraso RC:ingrese la descripción de la imagen aquí

El elemento de retardo tiene un solo polo en pag 2 . Leí que este sistema es incondicionalmente estable con retraso siendo 1 / pag 2 . Del requisito anterior de la demora, podemos afirmar que la estabilidad incondicional significa la demora T d para este sistema siempre permanece menor que el límite anterior que es π 2 ⋅ k frecuencia de ganancia unitaria .

Dado que el retraso es del orden de R ⋅ C del elemento de retardo y el R ⋅ C El valor se puede hacer arbitrariamente grande, creo que no siempre se garantiza que la demora se restringirá dentro de este límite y, por lo tanto, el sistema debería volverse inestable cada vez que la demora exceda este límite.

¿Podría alguien explicar esta aparente paradoja acerca de por qué el sistema es incondicionalmente estable incluso cuando el retraso podría ser mayor que π 2 ⋅ k frecuencia de ganancia unitaria .

¿Estás confundiendo 'retraso' y 'retraso'? 1/p2 es un retraso, Td es un retraso. Es imposible que un sistema de primer o segundo orden, compuesto por términos de rezago e integradores y sin coeficientes negativos o cero, sea inestable. Pero un retraso introduce un ángulo de fase de − ω T d con ganancia unitaria en todas las frecuencias, por lo tanto, puede dar lugar a un bucle cerrado inestable si el margen de fase de bucle abierto se vuelve negativo.
@Chu....Gracias por este útil comentario... pero ¿podría explicar qué quiere decir con retraso? Debido a que el retraso Td es el cambio de la señal en el dominio del tiempo, es decir f(t) -> f(t-Td). Y para el caso de retardo RC es del orden de R*C.
@Chu.... ¿Podría probar que el retraso del sistema RC es menor o igual a (pi/2)*k/frecuencia de ganancia unitaria?

Respuestas (2)

En su segundo ejemplo (sistema de segundo orden con retroalimentación), la fase de la función de ganancia de bucle se acercará al valor crítico de -180 grados solo para frecuencias infinitas. Eso significa: el cambio de fase nunca llegará a -180 grados a una frecuencia fija, y el sistema será estable.

En su primer ejemplo (primer orden con bloque de retardo fijo), la fase de ganancia del bucle no se limitará a ningún valor fijo. En cambio, la fase subirá con la frecuencia sin ninguna limitación. Por lo tanto, si la ganancia de bucle es mayor (menor) que 0 dB en una fase total de -180 grados, el sistema de bucle cerrado será inestable (estable).

Gracias LvW... eso es cierto... pero estaba pensando en términos de retraso del bucle durante la respuesta transitoria, Td en mi pregunta anterior. Como mencioné en la pregunta, para un retraso superior a (pi/2)*(k/unity_gain_freq), el sistema debería volverse inestable. Dado que el retraso del segundo ejemplo es del orden de 1/p2, eligiendo p2 suficientemente pequeño puedo hacer que el retraso sea mayor que el límite anterior. ¿Podría explicar en términos de este retraso por qué el sistema sigue siendo estable, incluso después de superar el límite máximo de retraso?
La cuestión de la estabilidad de un sistema de este tipo debe responderse con respecto al criterio de estabilidad en el dominio de la frecuencia, porque la respuesta depende de la ganancia y el cambio de fase dentro del bucle. No es suficiente mirar solo el cambio de fase (o retardo); al mismo tiempo, también debe mirar la ganancia del bucle (y esto nuevamente es el dominio de la frecuencia).

\ Considere el lazo abierto con ganancia, k , integrador 1 s y retraso mi − s T .

El ángulo de fase (en radianes) es: ϕ = − π 2 − ω T , y la ganancia es k ω .

Para la ganancia de bucle unitario, k = ω , lo que significa que, en esta frecuencia ϕ = − π 2 − k T , y para un ángulo de fase de − π , lo que daría un sistema condicionalmente estable (es decir, oscilatorio):

− π = − π 2 − k T o T = π 2 k , e incluyendo la red de resistencias de retroalimentación con ganancia, 1 k , tenemos la condición: T = k π 2 k

@Chu... Gracias por la prueba... Pero tengo una última pregunta... ¿Por qué el "retraso" no causa inestabilidad? Para la entrada de paso, si hay un gran retraso entre el voltaje de salida y el voltaje detectado (el voltaje que se sustrae de la entrada en el diagrama de retroalimentación), el bucle aumentará el voltaje de salida más allá del paso de entrada y habrá ser un sobreimpulso enorme.... ¿no debería esto conducir al sistema hacia la inestabilidad?
La contribución del ángulo de fase de magnitud máxima para un retardo es -90 grados; combinar esto con los -90 grados del integrador da un desfase de magnitud máxima de -180 grados. Por lo tanto, la fase del diagrama de Bode de bucle abierto nunca cruza el umbral de -180, por lo tanto, nunca es inestable.
@Chu... Dijiste que hay una diferencia entre 'retraso' y 'retraso'... Según tú, -90 grados es el retraso, si te entendí correctamente. De lo que estoy hablando aquí es del retraso 1/p2. Este es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el estado estacionario. Si este retraso es demasiado grande, el voltaje detectado será bajo aunque la salida del bucle esté aumentando. Esto debería causar un gran sobreimpulso cuando la salida comienza a aumentar con el paso. ¿No debería esto causar que el sistema se vuelva inestable?
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