Encuentre la función de transferencia y las condiciones para la estabilidad

Este es un circuito bastante retorcido :) pero interesante de resolver. Esta es una red de primer orden ya que solo hay un elemento de almacenamiento de energía. Podemos demostrar que el denominador de la función de transferencia, ya sea que considere la respuesta como el voltaje de salida$V_{out}(s)$o la corriente del inductor$I_L(s)$- es dado por$D(s)=1+s\tau$en el cual$\tau$es la constante de tiempo que involucra al inductor$L_1$. Este denominador se puede reescribir ventajosamente en forma de baja entropía como$D(s)=1+\frac{s}{\omega_p}$en el cual$\omega_p=\frac{1}{\tau}$. Para verificar la estabilidad del circuito, debe explorar la posición del polo en relación con algunos de los valores de los componentes involucrados en$\tau_1$. Siempre que el polo permanezca en el semiplano izquierdo (raíz negativa), esto es seguro. Tiene un RHPP y la respuesta en el dominio del tiempo está limitada. Si para algunos valores de componente el polo salta al semiplano derecho, se convierte en el llamado LHPP y la respuesta en el dominio del tiempo diverge. ¿Cómo determinamos la pole position? Simplemente aplicando las técnicas analíticas rápidas como se describe aquí , pero también aquí para una introducción fluida. Lo que tenemos que hacer es derivar la resistencia "vista" por el inductor cuando la excitación se reduce a 0 V. Como la excitación es$V_{in}$, redúzcalo a 0 V y sustitúyalo por un cortocircuito en el esquema que se muestra a continuación. Luego determina la resistencia que ofrecen los terminales de conexión del inductor: Puedes hacerlo conectando un generador de prueba$I_T$a través de las terminales del inductor y determine el voltaje$V_T$. Por lo tanto, determina$\frac{V_T}{I_T}$y usted es bueno para ir. puedes desconectar$R_4$para simplificar y ponerlo de nuevo en // más adelante. Si todo va bien, considerando una ganancia de bucle abierto$A_{OL}$acercándose al infinito, debe encontrar una resistencia igual a$R=-\frac{R_1R_3}{R_z}||R_4$. La constante de tiempo de este circuito está determinada por:$\tau=\frac{L_1}{R}=\frac{L_1}{-\frac{R_1R_3}{R_z}||R_4}$. Entonces el polo está dado por$\omega_p=\frac{1}{\tau}=\frac{-\frac{R_1R_3}{R_z}||R_4}{L_1}$. Así que tenemos una resistencia positiva.$R_4$en paralelo con un valor de resistencia negativo hecho de$-\frac{R_1R_3}{R_z}$.

si tenemos$R_z=50\;k\Omega$ $R_1=100\;k\Omega$ $R_3=R_4=50\;k\Omega$entonces la resistencia equivalente es$-100k||50k=100\;k\Omega$y tienes un LHPP (estable). Ahora seleccione$R_z=150\;k\Omega$y la resistencia equivalente se convierte en$-33.3k||50k=-100\;k\Omega$y el poste salta en el RHP para convertirse en un poste inestable.

He ejecutado una simulación rápida con los valores de resistencia. La primera respuesta para$R_z=50\;k\Omega$(Yo considere$V_{out}$como la respuesta) está acotada y esta es la respuesta de un diferenciador (hay un cero en el origen ya que el inductor tiene un cortocircuito en CC). si ahora tienes$R_z=150\;k\Omega$, el simulador diverge ya que el voltaje de salida está fuera del límite - ok, tengo un$A_{OL}$de 1 millón :)

Edición adicional :

Esta función de transferencia de circuito de primer orden$H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$obedece a la siguiente expresión:$H(s)=\frac{H_0+H^1s\tau}{1+s\tau}$en el cual$H_0$es la ganancia de CC (reemplace$L_1$por un cortocircuito) y$H^1$es la ganancia cuando$L_1$se establece en su estado de alta frecuencia (circuito abierto). la constante de tiempo$\tau$es el encontrado para el denominador.

Para obtener la ganancia cuando$L_1$está en circuito abierto, podemos calcular$\epsilon=V(+)-V(-)$usando superposición. Primero establecemos$V_{in}=0$y determinamos$\epsilon_1=V_{out}\frac{R_4}{R_4+R_3}-V_{in}\frac{R_1}{R_1+R_z}$. Luego establecemos$V_{out}$a 0 y determinar$\epsilon_2=V_{in}\frac{R_3}{R_4+R_3}$. darse cuenta de que$\epsilon=\frac{V_{out}}{A_{OL}}$, podemos resolver la siguiente ecuación$\frac{V_{out}}{A_{OL}}=V_{out}(\frac{R_4}{R_4+R_3}-\frac{R_1}{R_1+R_z})+V_{in}\frac{R_3}{R_3+R_4}$y después de reorganizarlo mientras presiona$A_{OL}$hasta el infinito, tenemos:$H^1=\frac{R_1+R_z}{R_1-\frac{R_4}{R_3}R_z}$. Ahora, si observas el circuito por$s=0$,$L_1$hay un cortocircuito y no hay respuesta:$H_0=0$. La función de transferencia final después de reordenar y simplificar está dada por:

$H(s)=\frac{\frac{s}{\omega_z}}{1+\frac{s}{\omega_p}}=H_{\infty}\frac{1}{1+\frac{\omega_p}{s}}$

con$\omega_z=\frac{R_1R_4}{(R_1+R_z)L_1}$,$\omega_p=\frac{-\frac{R_1R_3}{R_z}||R_4}{L_1}$y$H_{\infty}=\frac{\omega_p}{\omega_z}=\frac{R_3(R_1+R_z)}{R_1R_3-R_4R_z}$

Tenga en cuenta que la segunda expresión es una expresión verdadera de baja entropía , ya que le indica la ganancia cuando$s$se acerca al infinito. Cuenta con lo que se llama un polo invertido .

La siguiente hoja de Mathcad muestra todos los cálculos:

El resto y la respuesta de frecuencia está aquí. Tenga en cuenta que la condición para tener un LHPP es$R_z<\frac{R_1R_3}{R_1}<100\;k\Omega$. En el cuadro a continuación,$R_z$es$50\;k\Omega$:

Ahora configura$R_z$a$101\;k\Omega$y tienes una nueva función de transferencia con$f_p$ahora siendo negativo cuando el polo se convirtió en un RHPP, confirmado por la respuesta divergente en el dominio del tiempo a un paso de entrada.