Encontrar la función de transferencia de un circuito compensador similar a una topología de compensador tipo 2

Un aporte: Usando el Teorema de Thevenin es posible transformar el circuito a uno más simple:

Usando el principio de superposición, la salida$V_{out}$es:

No puede obtener una función de transferencia en forma cerrada relacionada$V_{out}$y$V_{in}$. Esta situación es similar a lo que sucede en los sistemas de control, cuando la planta tiene dos entradas: Referencia y perturbación. En ese caso, se puede utilizar el principio de superposición, lo que da como resultado dos funciones de transferencia separadas: una que relaciona la salida con la entrada de referencia y la otra que relaciona la salida con la entrada de perturbación.

Sin embargo, suponiendo que$V_{ref}$es constante, se puede obtener una función de transferencia relacionada con la entrada con la salida, considerando la relación entre las variaciones de estas cantidades (relación lineal):

dónde:

Este circuito representa un compensador de tipo 2, con un cero y un polo de origen. Puedo obtener su función de transferencia de ca usando Thévenin como se detalló anteriormente:

$R_{th}=R_0||R_1$

$Z_1(s)=(R_2+\frac{1}{sC_2})||(\frac{1}{sC_1})$

$G(s)=-\frac{R_0}{R_0+R_1}\frac{Z_1(s)}{R_{th}+R_3}$

Si desarrolla, obtendrá una expresión de alta entropía moderadamente complicada: no verá dónde se encuentran la ganancia, los polos y los ceros y tratar de expresar el resultado de una forma clara y ordenada requerirá un poco de energía adicional. Sin embargo, nada insuperable aquí. Si hace bien los cálculos y reorganiza, debería obtener

$G(s)=-\frac{R_0}{C_1+C_2}\frac{1+sR_2C_2}{s(R_0(R_1+R_3)+R_1R_3)(1+sR_2\frac{C_1C_2}{C_1+C_2})}$

También podemos determinar esta función de transferencia utilizando técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT, especialmente si queremos considerar una ganancia de bucle abierto no infinita que llamo$A_{OL}$. Comienzo calculando la función de transferencia de cd para$s=0$lo que significa que abro todos los condensadores:

$G_0=-A_{OL}\frac{R_0}{R_1+R_0}$

Luego, determinaré la resistencia "vista" del capacitor$C_1$mientras$C_2$está abierto (eso me dará$\tau_1$) y la resistencia "vista" del condensador$C_2$mientras$C_1$está abierto (eso me dará$\tau_2$). Puedo determinar estas resistencias instalando una fuente de corriente$I_T$sobre los terminales de conexión de$C_1$y determine el voltaje$V_T$a través de la fuente actual. La relación de$V_T$encima$I_T$me dará la resistencia que necesito. Si lo hago correctamente, debería encontrar:

$\tau_1=C_1((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})$

$\tau_2=C_2((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})+R_2)$

La suma de estas dos constantes de tiempo da$b_1=\tau_1+\tau_2$

Ahora determinaré la resistencia "vista" del capacitor$C_2$cuando$C_1$se coloca en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito). Esta resistencia es simplemente$R_2$. El coeficiente de segundo orden se determina entonces por

$b_2=\tau_1\tau_{12}=C_1((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})R_2C_2$

el denominador$D(s)$es entonces igual a$D(s)=1+sb_1+s^2b_2$. El numerador se encuentra de inmediato por inspección: ¿qué condición en el circuito transformado (en el que las tapas se reemplazan por sus definiciones de impedancia) evitaría que la excitación produzca una respuesta? Dicho de otro modo, cuando$V_{in}$está sintonizado a la frecuencia cero, ¿qué condición puede producir una llamada salida nula?$V_{out}=0\;V$? Si la rama hecha de$C_2$y$R_2$es un cortocircuito transformado. En otras palabras, la raíz de esta impedancia en serie es$s_z=-\frac{1}{R_2C_2}$. Esto es todo, tenemos nuestra función de transferencia que incluye el impacto de la ganancia de bucle abierto del amplificador operacional igual a:

$G(s)=G_0\frac{1+\frac{s}{\omega_z}}{1+b_1s+b_2s^2}$

Si ahora considero la baja$Q$aproximación ($Q<<1$), la forma polinomial de segundo orden se puede reemplazar por dos polos en cascada colocados en$1/b_1$y$b_1/b_2$. Si desarrollas todo, reorganiza y considera$A_{OL}$acercándose al infinito, entonces debería encontrar la siguiente forma agradable de baja entropía :

$G(s)=G_0\frac{1+\frac{\omega_z}{s}}{1+\frac{s}{\omega_p}}$

en el cual:

$G_0=-\frac{R_0}{R_0+R_1}\frac{R_2C_2}{(C_1+C_2)(R_3+R_1||R_0)}$ $\omega_z=\frac{1}{R_2C_2}$ $\omega_p=\frac{C_1+C_2}{C_1C_2R_2}$

Esta es realmente una forma de baja entropía que presenta un cero invertido en el numerador.

La respuesta dinámica de este circuito se muestra a continuación.

Como puede ver, tenemos una excelente concordancia entre las expresiones.

Los FACT son realmente imbatibles en términos de velocidad de ejecución. Obtiene un formato de baja entropía muy rápidamente (un formato en el que ve ganancias, polos y ceros inmediatamente). Si está interesado, y los animo a todos a adquirir esta habilidad, eche un vistazo a

http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/PPTs/Chris%20Basso%20APEC%20seminar%202016.pdf

y

http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/Book/List%20of%20FACTs%20examples.pdf

Además, no descuide la ganancia del bucle del amplificador operacional y sus polos internos cuando busque una frecuencia de cruce alta. Consulte este artículo publicado en http://www.how2power.com/newsletters/index.php recientemente, tiene más detalles que aquí:

http://www.how2power.com/pdf_view.php?url=/newsletters/1701/articles/H2PToday1701_design_ONSemi.pdf

http://www.how2power.com/pdf_view.php?url=/newsletters/1702/articles/H2PToday1702_design_ONSemi.pdf