Significado del "polo" de una función de transferencia con retardo de tiempo

Creo que la propiedad a la que te refieres es

$$\mathcal{L}\left\{ f(t-\tau) \right\} = e^{-s\tau}\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}$$

Esto significa que su función de transferencia realmente no sigue esa regla y realmente no tiene un retraso de tiempo:

$$H(s) = \frac{s}{as^2 + bs + c + de^{-sT}}$$

Resolver la transformada inversa de Laplace para esta función probablemente implicará métodos numéricos. Lo que es posible, es tener algo como esto:

$$H(s) = \frac{s + de^{-sT}}{as^2 + bs + c}$$

Porque se puede separar en:

$$H(s) = \frac{s}{as^2 + bs + c} + e^{-sT}\frac{d}{as^2 + bs + c}$$

Puedes ver que el segundo término también se puede separar en fracciones parciales, como el primer término. Los polos del denominador dirán algo acerca de la estabilidad de la función de transferencia.

Estabilidad en general

La fórmula de la transformada inversa de Laplace es

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\lim_{T\to \infty}\int_{\sigma-jT}^{\sigma+jT} F(s)e^{st}ds$$

dónde$\sigma$es elegido para ser mayor que todas las singularidades de$F(s)$en el plano complejo (en nuestro caso tal que incluye todos los polos).

Esta integral se resuelve de manera equivalente mediante el teorema del residuo de Cauchy :

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s) \right\} = \sum_{all\ poles\ of\ F(s)} Res\left[ F(s)e^{st} \right]$$ Recuerde, esto es general , es decir. ¡siempre funciona para una función de transferencia con cualquier singularidad!

Entonces no importa si los polos provienen o no de un polinomio o de una función trascendental. Siempre que las singularidades estén todas en el semiplano izquierdo, su residuo siempre contendrá un exponencial que decae a 0 en lugar de infinito. Cualquier singularidad en el RHP siempre conducirá a un exponencial que explota.

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Apéndice

Se puede notar que$e^{-sT}$se puede ampliar en su serie Taylor:

$$e^{z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$$

Entonces esto significa que su función de transferencia de ejemplo se puede escribir como

$$\begin{align} H(s) &= \frac{s}{as^2 + bs + c + d\cdot (\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-sT)^n}{n!})} \\ &= \frac{s}{\sum_{n=0}^{+\infty} A_ns^n} \end{align}$$

Dónde$A_0 = c + d$,$A_1 = b - d\cdot T$,$A_2 = a + d\frac{T^2}{2}$,$A_n = d\frac{(-T)^n}{n!}, \forall n>2$.

Entonces, este tipo de función de transferencia tiene "polos" por todas partes. Esto es para ilustrar que definitivamente no puede manejar esto como una función de transferencia normal de segundo orden.

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Apéndice

El residuo de un polo (simple) es

$$Res_{s=a}\left[ H(s) \right] = \lim_{s\to a} (s-a)F(s)$$

Para polos con multiplicidad$n$:

$$Res_{s=a}\left[ H(s) \right] = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{s\to a} \frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}\left( (s-a)^n H(s) \right)$$

La expresión para un retardo de tiempo (tiempo muerto) en el dominio de la frecuencia exp(-sT) es una función trascendental. No se puede modelar con elementos agrupados y, por lo tanto, no se puede combinar directamente con una función de transferencia que consta de polinomos en "s". Sin embargo, para este propósito, se puede aproximar mediante la siguiente expresión (aproximación de Pade de segundo orden):

$$H_d(s)=\frac{1-\frac{sT}{2}+\frac{s^2 T^2}{12}}{1+\frac{sT}{2}+\frac{s^2 T^2}{12}}$$

Esta es una función racional (allpass) y aparece como un factor en la ganancia de bucle y aparece, por supuesto, en la función de transferencia de bucle cerrado. Aquí se puede tratar como cualquier otro bloque en el circuito cerrado.