Retraso y Estabilidad en Sistemas de Retroalimentación Negativa: Confusión-2

Usando su sistema como ejemplo, es interesante considerar lo que sucede durante los primeros 10 segundos, más o menos, luego de la aplicación de un escalón unitario en la entrada del sistema (esto puede convencerlo de que es mucho más fácil basar un análisis de estabilidad en la apertura). ¡bucle!)

$\small 0<t<5$: La salida del retardo es cero; la señal de error es la unidad, por lo que la salida del sistema es una rampa unitaria (integral de paso = rampa). Por lo tanto, la salida llega a 5 en t=5.

$\small t=5$: la rampa de la unidad comienza a emerger del retraso

$\small 5<t<6$: La rampa unitaria se resta del escalón unitario, por lo que la señal de error desciende desde 1 y llega a cero en t=6. Como la entrada del integrador ahora desciende en rampa, la salida del integrador ya no es una rampa, es una parábola, divergiendo gradualmente de la rampa original (la integral de una rampa es una parábola). La salida del integrador alcanza 5,5 en t=6.

$\small 6<t<10$: La señal de error ahora es negativa y sigue siendo una rampa negativa con un gradiente de -1. La salida del integrador disminuye parabólicamente desde 5,5, alcanzando -2,5 en t=10.

$\small t>10$: Las secciones parabólicas de la salida del integrador ahora comienzan a emerger del retardo y se restan de la entrada del escalón unitario. Tenga en cuenta que, cuando la señal de salida de retardo se vuelve negativa, la señal de error será >1 y la señal de salida del integrador superará la rampa anterior en magnitud. El sistema es inestable.

Elegir un tiempo de retardo más pequeño (o aplicar una ganancia de integrador fraccional) hará que el sistema sea estable (¡pruébelo, si tiene algún día de sobra!)

Por el contrario, si el retraso se reemplaza por un retraso de primer orden, la ruta de retroalimentación es mucho menos agresiva. La salida del retraso comienza a crecer exponencialmente desde t=0 y comienza a reducir la señal de error inmediatamente. Esto significa que la señal de error cae exponencialmente, desde t=0, y la salida del sistema crece de forma mucho más pausada. El peor de los casos es cuando el retraso se reemplaza por un integrador, lo que da lugar a un sistema de segundo orden con amortiguamiento cero y una respuesta oscilatoria. Esta es una estabilidad crítica, y las cosas no pueden empeorar desde la perspectiva de la estabilidad. Por lo tanto, el sistema de segundo orden con polos en el plano s de LH no puede ser inestable. En términos de componentes eléctricos, es un circuito LC sin R.

sarthak, con respecto a la primera pregunta, mi respuesta es: Sí, en principio, su descripción es correcta. Se puede mostrar que, como ejemplo, para un integrador de unidades H(s)=1/s el límite de estabilidad está en una función de retardo de exp(-s*1,57). Para valores mayores (menores) de tiempo de retardo T=Pi/2=1,57 s, el circuito muestra amplitudes crecientes (decrecientes).

En el caso de un bloque RC con una constante de tiempo muy grande, el voltaje de error al principio es bastante grande (como ha mencionado) y la salida del integrador aumentará (teóricamente) a voltajes muy altos. Esto se debe a que solo hay un efecto de retroalimentación muy pequeño. Por lo tanto, cada circuito real llegará a los límites establecidos por la tensión de alimentación. Pero esto no significa que un circuito ideal (sin límites de suministro) sea inestable.

Debido a la constante de tiempo grande de la sección RC, el voltaje de error grande se reduce muy lentamente (carga del capacitor) y el transitorio resultante tiene un período muy grande. Pero el cambio de tiempo entre ambas señales nunca alcanza el valor crítico que provoca la oscilación ascendente. Cuando se acerca más y más a este valor crítico, la cantidad creciente de retroalimentación, al mismo tiempo, reduce el voltaje de error.

Como resultado, el circuito siempre es estable. Como mencioné en mi respuesta a su pregunta anterior, tales análisis de estabilidad son más fáciles de entender en el dominio de la frecuencia.

La salida de un integrador tiene un cambio de fase de 90 grados con respecto a cualquier entrada de onda sinusoidal. Si esa salida se retroalimenta a la entrada (a través de un RC), el criterio que determina la oscilación es que debe haber un cambio de fase general de 180 grados.

Sencillamente, una red RC no puede producir esos 90 grados adicionales hasta que la frecuencia de entrada sea infinita. Esto significa que el circuito puede sobrepasarse pero no se volverá inestable.