Estabilidad de las órbitas de fotones

La existencia de órbitas homoclínicas (nulas) depende de cómo se formule el sistema dinámico. En particular, importa la elección del parámetro a lo largo de la órbita. Si tomáramos un parámetro afín$\lambda$a lo largo de la órbita, entonces cualquier órbita nula que haga asíntotas a$r=3M$(desde arriba) como$\lambda\to -\infty$tenderá a$r=\infty$como$\lambda\to \infty$. Es decir, no existen órbitas homoclínicas.

Sin embargo, si introducimos un parámetro de "tiempo" alternativo (no afín)$\tilde{\lambda}$relacionado con$\lambda$por

$$\frac{d\tilde{\lambda}}{d\lambda} = \frac{L}{r^2},$$

dónde$L$es el momento angular de la partícula (esta es una versión afín del conocido parámetro de tiempo de Mino), e introducimos la coordenada$x := M/r$entonces la ecuación de movimiento para$x$es dado por

$$\left(\frac{dx}{d\tilde{\lambda}}\right)^2 = \frac{M^2E^2}{L^2} - x^2(1+2x).$$

Para$\frac{M^2E^2}{L^2}=1/27$, esto tiene como solución,

$$x = \frac{1}{2}\tanh^2 \frac{\tilde{\lambda}}{2}-\frac{1}{6}.$$

Esta es una órbita homoclínica que tiende al anillo de luz en$x=1/3$para$\tilde{\lambda}\to \pm\infty$. También tiene un valor mínimo de$x=-1/6$en$\tilde{\lambda}=0$. Este último bit sirve para responder la segunda mitad de la pregunta. La órbita homoclínica se conecta de nuevo al punto de equilibrio pasando "a través" del infinito (es decir,$x=0$) al negativo$x$región y volviendo a lo positivo$x$región. Cabe señalar que este negativo$x$La región "más allá del infinito" no corresponde a ninguna región física del espacio-tiempo, sino que es solo una construcción matemática formal.

Actualización: Aunque la introducción de$x$es conveniente. No es necesario. También se pueden buscar órbitas homoclínicas que tiendan a$r=3M$desde abajo. Esto existe y está dado por:

$$r = 6M\frac{\sinh^2\frac{\tilde{\lambda}}{2}}{2+\cosh\tilde{\lambda}}$$

Sin embargo, la introducción de un parámetro de tiempo alternativo parece esencial.