Comprender la matriz jacobiana

Question

Comprender la matriz jacobiana

Física
estabilidad
valor propio
equilibrio
sistemas-complejos
teoría linealizada

usuario929304

Tomando el ejemplo de un sistema bidimensional, descrito por las siguientes EDO:

\begin{aligned} \frac{d X_{1}}{d t} & = F_{1} (X_{1}, X_{2}) \\ \frac{d X_{2}}{d t} & = F_{2} (X_{1}, X_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dx_1}{dt}&=f_1(x_1,x_2)\\ \frac{dx_2}{dt}&=f_2(x_1,x_2) \end{align}$

La matriz jacobiana JM viene dada entonces por:

j METRO = (\begin{array}{cc} \frac{\partial F_{1}}{\partial X_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial X_{2}} \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial X_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial X_{2}} \end{array})

$JM=\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} \end{array}\right)$

Ahora citando de eruditopedia :

La estabilidad de los equilibrios típicos de las EDO suaves está determinada por el signo de la parte real de los valores propios de la matriz jacobiana. Estos valores propios a menudo se denominan "valores propios del equilibrio". La matriz jacobiana de un sistema de EDO suaves es la matriz de las derivadas parciales del lado derecho con respecto a las variables de estado donde todas las derivadas se evalúan en el punto de equilibrio x=xe. Sus valores propios determinan las propiedades de estabilidad lineal del equilibrio.

Un equilibrio es asintóticamente estable si todos los valores propios tienen partes reales negativas; es inestable si al menos un valor propio tiene parte real positiva.

¿Existe una forma intuitiva de entender por qué el signo de los autovalores de JM implica el estado de estabilidad del sistema?

una mente curiosa

Sugerencia: piense en el caso unidimensional y cómo la gráfica de

f

$f$ mira el punto de equilibrio cuando la derivada (o jacobiana 1D)

f^{'}

$f'$ es positivo, y cómo se ve cuando es negativo. La declaración multidimensional es muy parecida.

qmecanico

La intuición es que la parte real de los autovalores corresponde al crecimiento exponencial (decaimiento) para signo positivo (negativo), lo que conduce a un comportamiento inestable (estable), respectivamente.

Respuestas (2)

Comprender la matriz jacobiana

Sugerencia: piense en el caso unidimensional y cómo la gráfica de $f$ mira el punto de equilibrio cuando la derivada (o jacobiana 1D) $f'$ es positivo, y cómo se ve cuando es negativo. La declaración multidimensional es muy parecida.
La intuición es que la parte real de los autovalores corresponde al crecimiento exponencial (decaimiento) para signo positivo (negativo), lo que conduce a un comportamiento inestable (estable), respectivamente.

una mente curiosa · Answer 1

Veamos un ejemplo unidimensional:

Gráfico de equilibrio

Recordar que $f(x) = \dot{x}$ , entonces $f$ codifica la evolución temporal de $x$ . Si $f < 0$ , entonces $x$ se moverá hacia la izquierda. Si $f > 0$ , entonces $x$ se moverá hacia la derecha. Si $f = 0$ , $x$ no se moverá en absoluto, por eso $f(x_0) = 0$ es la condición de equilibrio.

Ahora, mira lo que sucede si perturbas los equilibrios $x_i$ ligeramente a la derecha: Si $f'(x_i) < 0$ , pues, en un pequeño entorno de $x_i$ , $f(x) < 0$ para $x > x_0$ en ese entorno, es decir, a la derecha de un equilibrio con $f'(x_i) < 0$ , $x$ se moverá hacia la izquierda - ¡volviendo al equilibrio! Por el contrario, si $f'(x_i) > 0$ , entonces $f(x) > 0$ para todos $x$ a la derecha en el pequeño entorno, lo que significa que, después de un pequeño empujón a la derecha, $x$ se moverá aún más a la derecha, dejando el equilibrio!

La misma línea de razonamiento se puede aplicar a las perturbaciones a la izquierda, mostrando en conjunto que, si $f'(x_i) < 0$ , entonces una pequeña perturbación alrededor $x_i$ siempre se mudará de nuevo a $x_i$ , y si $f'(x_i) > 0$ , entonces una pequeña perturbación se hará cada vez más grande, alejándose de $x_i$ .

El caso multidimensional es menos gráfico, pero la intuición es la misma: los valores propios negativos del jacobiano significan que la evolución del tiempo apunta hacia el equilibrio, los valores propios positivos significan que apunta fuera del equilibrio.

Gracias muy claro ahora. Entonces, para resumir, si buscamos puntos de equilibrio estables, necesitamos encontrar $x_0$ 's ( $f(x_0)=0$ ), para lo cual la segunda derivada de $x$ a la derecha ya la izquierda es negativo, ¿verdad? (así que significa $x_0$ ¿Es que son los máximos de nuestra trayectoria? ¿Cómo puede un máximo ser el punto de estabilidad?
@usuario929304: $x$ no tiene derivados "a la derecha y a la izquierda" ("izquierda" y "derecha", como los usé, se refieren a "menor $x$ " y "más grande $x$ "). $x$ sólo tiene derivadas temporales. Un equilibrio estable es aquel en el que $f'(x_0) < 0$ , de modo que $f$ es positivo a la izquierda del equilibrio y negativo a la derecha, porque entonces se mueve hacia la izquierda cuando se empuja hacia la derecha, y hacia la derecha cuando se empuja hacia la izquierda.

usuario12029 · Answer 2

$f=-kx$ es estable mientras que $f=kx$ es inestable
Por lo general, puede reescribir una matriz $A$ como $A=PDP^{-1}$ dónde $P$ es una matriz de vectores propios y $D$ es una matriz diagonal de valores propios.
Si $F=Ax$ , entonces por lo anterior, $(P^{-1}F)=D(P^{-1}x)$ . Ahora tu tienes $n$ ecuaciones independientes exactamente de la forma $f=kx$ o $f=-kx$ . Si alguno de ellos es como $f=kx$ , la solución explotará hasta el infinito bajo una pequeña perturbación.

Por ejemplo: $\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & 0 \\ \end{array} \right)=A$

Con solo mirar el $PDP^{-1}$ diagonalización, puedo decir - si $F=Ax$ , entonces cualquier $x$ yendo en la dirección $(2,-1)$ tenderá a ser empujado lejos del origen, y cualquier $x$ yendo en la dirección $(2,1)$ tenderá a ser empujado hacia el origen. Debe comprender $P^{-1}x$ como un cambio de base en un sistema de coordenadas donde los ejes son algunos $n$ direcciones arbitrarias que actúan como líneas de fuerza.

Aquí hay una trama de ese sistema. $F=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & 0 \\ \end{array} \right)x$ .

empujando lejos del origen

Me parece que, en su respuesta, está asumiendo que $JM$ siempre se puede diagonalizar. es falso también en $\mathbb C$ ... En realidad escribiste "usualmente". ¿Qué pasa si no es el caso?
Punto justo de @ValterMoretti, ¿podría aclarar esto de manera general? (es decir, si se puede o no se puede diagonalizar). Definitivamente sería bueno tener tu opinión sobre esta publicación.
@user929304 Simplemente debe (a) clasificar los no- $\mathbb C$ -diagonalizable real $2\times 2$ matrices $A$ , (b) estudiar el comportamiento de las soluciones de $d\vec{x}/dt=A\vec{x}$ alrededor del punto crítico $\vec{x}=0$ y finalmente (c) explotar un argumento (no trivial) que relacione el comportamiento de la solución de su sistema dinámico con los del sistema lineal asociado. Este último se define eligiendo $A=JM_{\vec{x}_0}$ calculado en el punto crítico $\vec{x}_0$ tal que $f_i(\vec{x}_0)=0$ , $i=1,2$ . Obviamente las coordenadas tienen que estar centradas en $\vec{x}_0$ .
@ValterMoretti ¡No pude descubrir ninguna intuición detrás de eso! Supongo que todavía tienes los valores propios de $A$ tiene que ser negativo (excepto en los peores problemas planteados todavía tendrá una ecuación característica con $n$ multiplicidad de conteo de soluciones) pero parece que en el $x''=Ax$ caso de que pueda tener su valor propio negativo pero su solución explote hasta el infinito como $x \sin(x)$ ! Pero todo eso está realmente lejos de una comprensión intuitiva, así que supongo que no pertenece a la respuesta. Prefiero barrerlo debajo de la alfombra.
Efectivamente no pretendía dar una intuición. Lo que quería decir es que el caso linealizado tiene el mismo comportamiento cualitativo que el caso no linealizado. Este es un teorema (difícil). Sin embargo, una vez que lo sepa, puede concentrarse solo en el caso lineal y puede clasificar los diversos casos, ya que las soluciones explícitas se pueden escribir en ese caso, para matrices reales de 2x2. Sólo hay unos pocos tipos posibles. Véase, por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Phase_plane

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