¿Por qué las órbitas son 1.5rs? <3rs1.5rs <3rs1.5r_{s} < r < 3r_{s} inestable alrededor de un agujero negro de Schwarzschild?

Con respecto a tu primera pregunta:

En relatividad general, la energía de un objeto ligero que se mueve alrededor de una masa esféricamente simétrica se puede escribir como:

$E=mc^2(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2((1-\frac{2GM}{rc^2})^2(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2})|\hat{r}\times\hat{v}|^2)}}})$

La parte extraña anterior se debe a que en la solución de Schwarzschild, la velocidad local de la luz es diferente en la dirección radial y transversal a la dirección radial. Para movimiento circular puro esta expresión se reduce a:

$E=mc^2(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1--\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})}}})$

Esto se puede reescribir como:

$E=mc^2(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}})$

Para el movimiento circular estable puro también tenemos, al igual que clásicamente,$v=\sqrt{GM/r}$por lo que podemos escribir:

$E=mc^2(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{GM}{rc^2}}})$

De la última expresión se puede ver que se necesita energía infinita para permanecer en una órbita circular en el radio del fotón$r=\frac{3GM}{c^2}=1.5r_s$. Tomando la derivada de la última expresión con respecto a r vemos que tiene un mínimo para$r=\frac{6GM}{c^2}$. Esto significa que mientras estés "más alto" que$r=\frac{6GM}{c^2}=3r_s$las órbitas circulares requieren menos energía para mantenerse a medida que te acercas al agujero negro. Sin embargo, más cerca del agujero negro que esa distancia radial, las órbitas circulares requieren cada vez más energía para sostenerse cuanto más te acercas al agujero negro, y es por eso que son inestables.