¿Cómo hacer un análisis de estabilidad lineal en este sistema de ODE?

Estaba tratando de hacer un análisis de estabilidad lineal del péndulo de resorte. Llegué a las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. Pero no puedo proceder al análisis de estabilidad lineal. ¿Es posible hacer un análisis de estabilidad lineal en ecuaciones diferenciales de segundo orden encontrando valores propios de la matriz jacobiana? Las ecuaciones son las siguientes:

metro r ″ − metro ( L + r ) ( θ ′ ) 2 − metro gramo porque ⁡ ( θ ) + k r ′ = 0
y

( L + r ) θ ″ + 2 r ′ θ ′ + gramo pecado ⁡ ( θ ) = 0.

ACTUALIZACIÓN: Los puntos fijos son ( metro gramo / k , 0 ) y ( − metro gramo / k , π )

Comenzaría linealizando el problema sobre un punto estacionario. Luego, reorganice en un sistema de odas lineales de primer orden, los valores propios de esa matriz deben ser <1.
@ user3823992 ¿No quiere decir que los valores propios deben tener una parte real negativa, ya que un valor propio λ corresponde a un Exp ⁡ ( λ t ) término en la solución de las ED linealizadas? ( | λ j | < 1 es el criterio para sistemas de tiempo discreto, es decir, relaciones de recurrencia acoplada, ya que λ j entonces corresponde a un λ j norte término en la solución de ecuaciones linealizadas).
Sí, bastante bien. Partes reales negativas.

Respuestas (3)

Considero que el núcleo de la pregunta es

¿Es posible hacer un análisis de estabilidad lineal en ecuaciones diferenciales de segundo orden encontrando valores propios de la matriz jacobiana?

La respuesta es sí, pero primero tienes que convertir tus ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden.

En realidad, esto es bastante fácil de hacer: cada vez que vea una segunda derivada, por ejemplo X ″ , solo introduces una nueva variable, y = X ′ . Entonces puedes reemplazar X ″ con y ′ . La ecuacion X ′ = y debe agregarse al conjunto de ecuaciones, por lo que en su caso, sus dos ecuaciones de segundo orden se convertirán en cuatro de primer orden. Luego, después de reorganizar las ecuaciones para colocar todas las derivadas en el lado izquierdo, puede escribir el jacobiano y calcular sus valores propios tal como lo haría con cualquier conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

(Pido disculpas por no hacer el trabajo de aplicar esta técnica a su problema, pero espero que esta respuesta le brinde suficiente información para hacerlo usted mismo).

La respuesta de Nathaniel es clara y correcta, pero permítanme agregar: es obvio por inspección que este es un movimiento en un potencial, que puede derivarse de un hamiltoniano.

r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 2 + V ( r , θ ) .
Todo lo que necesita hacer ahora es establecer si, alrededor de los puntos de equilibrio, V tiene un mínimo o un máximo/silla de montar: en el primer caso el movimiento es estable, en caso contrario no. Esto requiere calcular los valores propios de un 2 × 2 matriz, considerablemente más fácil que la 4 × 4 matriz sugerida por Nathaniel.

Además, te permite tomar algún contacto con la física, más bien discutiéndola como un problema puramente matemático.

Necesitas linealizar tus ecuaciones alrededor de cualquier punto estacionario. Entonces, de hecho, puede tratarlo como si encontrara valores propios.

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