Diferencia entre punto fijo inestable y punto caótico

La definición que está citando¹ solo se aplica a las inmediaciones de un punto fijo (la mina en negrita):

En este caso simple, las LE$λ_i$son las partes reales de los valores propios.

En general, los exponentes de Lyapunov son propiedades de la dinámica, no de un punto determinado². En términos generales, son un promedio temporal de la proyección del jacobiano en una dirección específica a lo largo de la trayectoria. Análogamente, el caos es una propiedad de una dinámica o conjunto de trayectorias (un atractor caótico, silla, transitorio o conjunto invariante), no de un punto fijo.

Si observa un punto fijo estable, una trayectoria dentro de su cuenca de atracción estará muy cerca del punto fijo para este promedio y, por lo tanto, obtuvo la definición citada¹. Para un punto fijo inestable, casi cualquier trayectoria eventualmente se alejará de él y su tipo de dinámica (punto fijo, periódico, caos,…) depende de la estructura del flujo fase-espacio en regiones distantes del punto fijo inestable. Entonces, la naturaleza de un punto fijo no dice nada sobre si un sistema es caótico o no.

Su segunda cita alude a lo siguiente: el caos no solo requiere un exponente positivo de Lyapunov, sino también una dinámica acotada. Por ejemplo,$\dot{x} = x$también tiene un exponente de Lyapunov positivo, pero no es caótico: no tiene límites y no retrocede (consulte también esta pregunta en Math SE).

^{¹ “Dado un sistema dinámico$\dot{\vec{x}}=\vec{F}(\vec{x})$y un punto fijo$\vec{x}_0$tal que$\vec{F}(\vec{x}_0)=\vec{0}$, los exponentes de Lyapunov se definen como las partes reales de los valores propios jacobianos relevantes”.
² “También existe una noción de exponentes locales/instantáneos/… de Lyapunov, pero probablemente no sea lo que estás preguntando y no juega con la definición de caos. ³ “Un exponente de Lyapunov máximo estrictamente positivo se considera a menudo como una definición de caos determinista. Esto tiene sentido solo cuando la variedad inestable correspondiente se repliega y permanece confinada dentro de un dominio acotado (un punto fijo inestable NO es caótico)”}

El caos clásico requiere, además de la dependencia sensible de las condiciones iniciales (LE máxima positiva), que las trayectorias se mezclen. Por ejemplo, considere un solo dispersor de esfera dura. Cuando el parámetro de impacto es +/- cero, pequeñas perturbaciones enviarán la partícula en diferentes direcciones. Pero para que el sistema sea caótico, debes confinar las trayectorias para que puedan mezclarse y llenar el espacio de fase (o espacio real) como en el estadio de Bunimovich. Creo que ese es el punto de la propiedad que cita.

Aquí hay una foto de Hans-Jürgen Stöckman que ilustra el punto. Esta noción pasa al caos cuántico u ondulatorio, donde en lugar de trayectorias, observamos las propiedades asintóticas de los dominios nodales de las funciones propias de Dirichlet. En ese caso, las "cicatrices" aparecen como restos fantasmales de trayectorias periódicas inestables. Espero que eso sea lo que tenías en mente.