Lyapunov estabilidad de órbitas circulares

Question

Lyapunov estabilidad de órbitas circulares

muelle94

Estoy estudiando mecánica clásica en "Métodos matemáticos de mecánica clásica" de Arnold. En un problema me piden encontrar para qué $\alpha$ las órbitas circulares en el problema del campo central son Lyapunov estables con el potencial en la forma

tu (r) = r^{α}, - 2 \leq α < \infty

$U(r)=r^{\alpha}, -2 \leq \alpha < \infty$ yo se que la respuesta es

α = 2

$\alpha =2$ pero no puedo averiguar por qué. Conozco la definición de estabilidad de Lyapunov (la solución

φ (t)

$\varphi(t)$ definido en ella, por ejemplo, intervalo máximo derecho de existencia,

J_{φ}^{+} = [τ, + \infty)

$J_{\varphi}^{+}=[\tau,+\infty)$ , con condición inicial

(τ, ξ)

$(\tau,\xi)$ para un sistema autónomo Lyapunov es estable si

\forall ε, \exists δ (ε)

$\forall \varepsilon, \exists \delta (\varepsilon)$ tal que si

‖ ξ - η ‖ < δ

$\|\xi -\eta \|<\delta$ la solución

ψ (t)

$\psi(t)$ con condición inicial

(τ, η)

$(\tau,\eta)$ se define en

J_{ψ}^{+} = J_{φ}^{+}

$J_{\psi}^{+}=J_{\varphi}^{+}$ y

‖ ψ (t) - φ (t) ‖ < ϵ, \forall t \in [τ, + \infty)

$\| \psi(t)-\varphi(t) \|<\epsilon, \forall t \in [\tau,+\infty)$ ) y también sé cómo usar la función de Lyapunov para probar esta propiedad. El problema es que no puedo encontrar una función de Lyapunov adecuada ni probar la estabilidad de Lyapunov usando los valores propios de la solución del sistema. Tampoco puedo entender la diferencia entre esta condición y la condición de estabilidad que puedo encontrar con pequeñas desviaciones de la condición.

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ . De hecho (suponiendo que

M

$M$ es el momento angular para el sistema y la masa

m

$m$ =1) tenemos que:

\ddot{r} - \frac{{METRO}^{2}}{r^{3}} = - \frac{\partial tu (r)}{\partial r} = F (r)

$\ddot r -\frac{M^2}{r^3}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}=f(r)$ y para

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ tenemos las órbitas circulares para el sistema donde el radio

r_{c}

$r_c$ está dada por la relación

- \frac{{METRO}^{2}}{r {_{C}}^{3}} = - \frac{\partial tu (r)}{\partial r} |_{r = r_{C}} = F (r_{C})

$-\frac{M^2}{r{_c}^{3}}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}\bigg|_{r=r_c}=f(r_c)$ Para pequeñas salidas

r_{c} + ε

$r_c+\varepsilon$ sustituyendo en la ecuación anterior y usando la expansión de Taylor tenemos

F (r_{C} + ε) = \ddot{ε} - \frac{{METRO}^{2}}{(r_{C} + ε)^{3}} \Rightarrow \ddot{ε} = (F^{'} (r_{C}) + \frac{3 F (r_{C})}{r_{C}}) ε

$f(r_c+\varepsilon)=\ddot \varepsilon -\frac{M^2}{(r_c+\varepsilon)^3}\Rightarrow \ddot \varepsilon= \bigg(f'(r_c)+\frac{3f(r_c)}{r_C} \bigg)\varepsilon$ Ahora bien, si el término entre paréntesis es negativo, tengo la ecuación de un oscilador armónico y, por lo tanto, las órbitas circulares son estables en este sentido. Con el potencial en forma

U (r) = r^{α}

$U(r)=r^\alpha$ esta condición es

α > - 3

$\alpha>-3$ . Resumiendo, mis preguntas son:

¿Cuál es la diferencia entre estos dos tipos de estabilidad?
¿Es Lyapunov uno más fuerte y en qué sentido lo es?
¿Cómo puedo probar que si $\alpha=2$ ¿Las órbitas circulares son Lyapunov estables?

Respuestas (1)

Lyapunov estabilidad de órbitas circulares

Diracología · Answer 1

Permítanme llamar estabilidad radial a la estabilidad de $r$ alrededor $r_0$ , dónde $r_0$ es el radio de la órbita circular. La diferencia entre ésta y la estabilidad de Lyapunov es que esta última no sólo busca $r$ sino también al ángulo polar $\theta$ (para una fuerza central) y sus momentos conjugados. Entonces, en este sentido, diría que Lyapunov es más fuerte.

Básicamente una órbita $\lambda(t)$ en el espacio de fase Lyapunov es estable si permanece arbitrariamente cerca de la órbita $\lambda_0(t)$ (la órbita circular) siempre que hagamos arbitrariamente cercanas las condiciones iniciales de ambos casos. Ahora bien, si restringimos este criterio de Lyapunov solo para la coordenada radial, entonces coincide con el criterio de estabilidad radial.

No voy a probar el resultado que afirma Arnold, pero puedo darte alguna intuición. Considere, por ejemplo, la fuerza atractiva del cuadrado inverso cuyo potencial es $U=-r^{-1}$ . Una órbita perturbada (alrededor de la circular) es una elipse. Por la tercera ley de Kepler tenemos que el periodo de esta órbita perturbada es

T_{pag}^{2} \propto a^{3} .

$T_p^2\propto a^3.$ Desde

a > r_{0}

$a>r_0$ , este período es mayor que el período

T_{0}

$T_0$ de la órbita circular. Esto implica que la diferencia entre los ángulos de las dos órbitas,

| θ_{p} (t) - θ_{0} (t) |

$|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ crece indefinidamente con el tiempo. No permanecen cerca uno del otro, por lo que esta órbita no es estable para Lyapunov. Sin embargo, es radialmente estable, como acaba de mostrar en la pregunta.

Ahora considere un oscilador armónico isotrópico, $U=r^2$ . La órbita se puede obtener por una superposición de dos movimientos armónicos, con la misma frecuencia, colocados ortogonalmente en el plano. Dado que el período de cada movimiento armónico es independiente de la amplitud, el período del oscilador isotrópico también es independiente de la amplitud. La diferencia $|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ es por lo tanto constante y puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo condiciones iniciales arbitrariamente cercanas. El oscilador isotrópico es Lyapunov estable.

Creo que una prueba de la afirmación de Arnold sería proponer potenciales de ley de potencia atractivos y radialmente estables, $U\propto r^n$ , $n>-3$ , y luego demuestre que solo para $n=2$ el período de la órbita perturbada es igual al período de la órbita circular.

Esta es la mejor respuesta que he leído en SE en mucho tiempo. Gracias por responderla y no solo regalarla.

Lyapunov estabilidad de órbitas circulares

muelle94

Respuestas (1)

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