Ecuaciones linealizadas

I) En esta respuesta discutimos un enfoque sistemático para la linealización y el análisis de estabilidad . Imagine que el sistema físico bajo consideración está descrito por un Lagrangiano autónomo$L=L(q,\dot{q})$de$n$ coordenadas generalizadas

$$q~=~(q^1, \ldots, q^n)~\in~ \mathbb{R}^n.\tag{1}$$

Una de las primeras preguntas que me gustaría hacer es, si un punto específico$q_{(0)}$es un punto de equilibrio estable o no? Esto se logra analizando el efecto de pequeños desplazamientos$u := q-q_{(0)}$desde ese punto,$|u|\ll 1$. Así desarrollamos el Lagrangiano$L$en orden cuadrático en$u$y$\dot{u}$:

$$L(u,\dot{u}) ~=~ \frac{1}{2}M_{ij}\dot{u}^i\dot{u}^j + \frac{1}{2}B_{ij}u^i\dot{u}^j -\frac{1}{2}K_{ij}u^iu^j + f_i u^i. \tag{2}$$

Un Lagrangiano cuadrático corresponde a ecuaciones lineales de movimiento. Se dice que la teoría ha sido linealizada. En la ec. (2) hemos despreciado (i) los términos de orden superior porque$|u|,|\dot{u}|\ll 1$; (ii) términos constantes y términos de derivadas totales, que no habrían afectado las ecuaciones de Euler-Lagrange . De manera similar, podemos suponer sin pérdida de generalidad que la matriz real

$$B~=~-B^{t}\tag{3}$$

es antisimétrica (porque la parte simétrica de la$B$matriz corresponde a una derivada total en el Lagrangiano). También podemos suponer sin pérdida de generalidad que las matrices reales

$$M~=~M^t\tag{4}$$

y

$$K~=~K^{t}\tag{5}$$

son simétricos. (OP denota el$K$matriz por$V$.) La matriz$B$tiene una interpretación como un campo magnético dualizado generalizado;

$$A_j~:=~ \frac{1}{2} u^i B_{ij}\tag{6}$$

es un potencial magnético generalizado; el$K$la matriz consta de constantes de resorte acopladas generalizadas en una ley de Hooke generalizada ; y el$M$matriz es masa generalizada. Aquí, por simplicidad, supondremos que la transformación de Legendre al formalismo hamiltoniano no es singular para no tener restricciones. Esto significa que la matriz$M$no es singular,$\det(M)\neq 0$. [Siempre es posible rotar las coordenadas de desplazamiento

$$u^{\prime i} ~:=~ R^i{}_j u^j\tag{7}$$

por una matriz ortogonal$R$para diagonalizar la matriz de masa$M={\rm diag}(m_1, \ldots, m_n)$. Por transformaciones de escala positiva

$$u^{\prime i} ~:=~ \lambda^i u^i, \qquad \lambda^i~>~0,\tag{8}$$

es posible hacer todas las masas$m_1, \ldots, m_n$, igual a$\pm 1$. Las transformaciones (7) y (8) no destruyen la propiedad (3) y (5).]

II) Ahora calculemos. Los momentos canónicos son

$$\begin{align} p_i ~=~& \frac{\partial L}{\partial \dot{u}^i} \cr ~=~& M_{ij}\dot{u}^j+ A_i\cr ~=~& M_{ij}\dot{u}^j- \frac{1}{2} B_{ij}u^j.\end{align} \tag{9}$$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen

$$\begin{align} \dot{p}_i ~=~& \frac{1}{2} B_{ij} \dot{u}^j- K_{ij}u^j + f_i \cr\cr~\Updownarrow~&\cr\cr M_{ij}\ddot{u}^j ~=~& B_{ij} \dot{u}^j- K_{ij}u^j + f_i .\end{align}\tag{10}$$

La función de energía se define como

$$\begin{align} h(u,\dot{u})~:=~& p_i \dot{u}^i - L \cr ~=~&\frac{1}{2}M_{ij}\dot{u}^i\dot{u}^j +\frac{1}{2}K_{ij}u^iu^j - f_i u^i .\end{align}\tag{11}$$

El hamiltoniano lee

$$\begin{align} H(u,p) ~=~&\frac{1}{2}(p-A)^t M^{-1}(p-A) + \frac{1}{2}u^t K u -f^t u\cr ~=~&\frac{1}{2}p^t M^{-1}p + \frac{1}{2}p^t M^{-1}Bu \cr &+ \frac{1}{2}u^t (K+ \frac{1}{4}B^tM^{-1}B)u - f^t u.\end{align}\tag{12}$$

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton son una EDO acoplada de primer orden

$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} u \\ p \end{bmatrix} ~=~C \begin{bmatrix} u \\ p \end{bmatrix},\tag{13}$$

dónde

$$C~:=~\begin{bmatrix}\frac{1}{2} M^{-1}B& M^{-1} \\ -K+ \frac{1}{4}BM^{-1}B & \frac{1}{2}BM^{-1}\end{bmatrix}\tag{14}$$

es una constante$2n\times 2n$matriz real (que depende del punto$q_{(0)}$). Supongamos que la matriz$C$es diagonalizable.$^1$

III) Una condición necesaria y suficiente para que$q_{(0)}$es un punto de equilibrio$\forall t:u(t)=0$es evidente que los términos fuente desaparecen

$$\forall t: f(t)~=~0,\tag{15}$$

cf. ec. (10). Asumamos la condición (15) de ahora en adelante.

IV) Discutamos finalmente las condiciones para que el punto de equilibrio${\bf q}_{(0)}$es estable

Desde una perspectiva hamiltoniana, una condición de estabilidad necesaria (suficiente) es que la parte real de$C$Los valores propios de son no positivos (negativos), respectivamente. (En la brecha entre las condiciones necesarias y suficientes anteriores, también es necesario analizar las contribuciones de los términos de orden superior).

Desde una perspectiva lagrangiana, considere la ecuación característica

$$\det(K-\lambda B + \lambda^2M)~=~0. \tag{16}$$

Una condición de estabilidad necesaria (suficiente) es que la parte real de las raíces$\lambda$son no positivos (negativos), respectivamente.

La condición de estabilidad se simplifica considerablemente si asumimos que no hay campos magnéticos$B=0$. En ese caso, una condición de estabilidad necesaria es que$M^{-1}K$Los valores propios de son reales y no negativos. (Nuevamente, para obtener condiciones de estabilidad suficientes, también es necesario analizar las contribuciones de los términos de orden superior).

V) En física solemos imponer también que el hamiltoniano (12) está acotado por abajo, cf. unitaridad _ En el caso general (con$B$incluido), la unitaridad (a nivel linealizado) es equivalente a que la matriz$M$es definida positiva y la matriz$K$es semipositivo . (Recuerde que anteriormente hemos supuesto que$M$no tiene dirección cero, mientras que$K$en principio podría tener direcciones cero/modos cero. Por ejemplo, las partículas libres tendrían$K=0$.)

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$^1$Tengo la vaga sensación de que la diagonalizabilidad de$C$es una suposición innecesaria, es decir, que la matriz$C$es automáticamente diagonalizable.

Qué$V_{ab}$? Bien,$V_{ab}$es la "matriz de energía potencial definida positiva y simétrica".

Ok, lol, estoy bromeando aquí, pero como sugiere el nombre,$V_{ab}$describe la fuerza de la interacción (linealizada) entre partículas$a$y$b$. Para ser precisos, es la segunda derivada de la función de energía potencial del sistema con respecto a$u_a$y$u_b$, evaluado en el punto de equilibrio. Entonces,$V_{ab}$es una colección de$N \times N$números reales que son constantes .

¿Qué significa linealizar una ecuación? Significa mantener solo los términos que son proporcionales a la distancia.$u$y abajo, en la expansión de Taylor de la función real.

Por ejemplo, ¿cómo linealizamos la función$y(x) = e^x$sobre el punto$x_0=0$? Esto significa que deseamos describir$y(x)$hasta términos en$(x-x_0) = x-0= x$solo. Ahora la expansión de Taylor de$e^x$es$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$por lo que la ecuación linealizada es$y(x) = 1+x$. Entonces,$y(x)$puede ser descrito por$1 + x$, y el acuerdo entre$e^x$y$1 + x$se vuelve arbitrariamente bueno como$x \to 0$.

Así que en tu caso de$N$partículas, las fuerzas entre dos partículas cualquiera están dadas por alguna función potencialmente complicada (sin juego de palabras) de las coordenadas, pero deseamos observar solo desviaciones muy pequeñas de la posición de equilibrio, por lo tanto, lo 'linealizamos'. Entonces, las fuerzas totales de todas las demás partículas sobre la partícula$a$debe parecerse$\sum_b V_{ab} u_b$. Ahora, por qué nos preocupamos solo por pequeñas desviaciones del equilibrio es una pregunta totalmente diferente. Es una pregunta de física. La razón es porque queremos caracterizar qué tipo de equilibrio es, si es estable o inestable, y qué frecuencia de oscilación admite, y basta con mirar$V_{ab}$que domina la interacción asumiendo que su desviación del equilibrio es pequeña.

En cuanto a su pregunta sobre ¿qué es una matriz definida positiva y simétrica? Estos términos solo se aplican a una matriz cuadrada. una matriz$M$(con coeficientes reales) es simétrica si$M = M^T$, es decir, su transposición. En componentes, significa$M_{ij} = M_{ji}$. Una matriz definida positiva (generalmente aplicada solo a matrices simétricas/hermitianas) significa que para cualquier vector$w$,$w^T M w > 0$. Esto también es equivalente al hecho de que los valores propios de$M$son todos$> 0$. Físicamente esto garantiza que el equilibrio que tenemos es estable (la frecuencia de oscilación está relacionada con la raíz cuadrada de los valores propios).

Ahora, por lo que he escrito, debería poder averiguar la forma de$V_{ab}$y, por lo tanto, muestre por qué es una matriz definida positiva y simétrica.