Deducción de las tasas de crecimiento de la inestabilidad a partir del hamiltoniano para la ecuación de Schrödinger no lineal

Question

Deducción de las tasas de crecimiento de la inestabilidad a partir del hamiltoniano para la ecuación de Schrödinger no lineal

Física
estabilidad
sistemas-complejos
sistemas integrables
formalismo hamiltoniano
Schroedinger no lineal

nick p

Considere la siguiente ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE):

\begin{matrix} (1) & A_{t} + i A_{X X} + i | A |^{2} A = 0, \end{matrix}

$A_t+iA_{xx}+i|A|^2A = 0, \tag{1}$ dónde

A

$A$ es una función de valor complejo de

(x, t)

$(x,t)$ .

Una solución a esta ecuación es

\begin{matrix} (2) & A = a_{o} {mi}^{- i a_{o}^{2} t} . \end{matrix}

$A=a_oe^{-ia_o^2t}.\tag{2}$ Investigamos la estabilidad de estas soluciones considerando una perturbación a la solución anterior de la forma

\begin{matrix} (3) & a_{o} {mi}^{- i t} (1 + α_{+} {mi}^{i (k X - Ω t)} + α_{-} {mi}^{- i (k X - Ω t)}), \end{matrix}

$a_oe^{-it} (1+\alpha_+e^{i(kx-\Omega t)}+\alpha_-e^{-i(kx-\Omega t)})\tag{3},$ para constantes

(α_{+}, α_{-}, k, Ω) .

$(\alpha_+,\alpha_-, k,\Omega).$

Poner esto de nuevo en el NLSE y recopilar los términos del pedido $\alpha_{\pm}$ , encontramos un sistema de ecuaciones

\begin{matrix} (4) & (\begin{array}{cc} a_{o}^{2} - k^{2} - Ω & a_{o}^{2} \\ a_{o}^{2} & a_{o}^{2} - k^{2} + Ω \end{array}) (\begin{matrix} α_{+} \\ α_{-} \end{matrix}) = 0. \end{matrix}

$\left( \begin{array}{cc} a_o^2-k^2-\Omega & a_o^2 \\ a_o^2 & a_o^2-k^2+\Omega \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha_+ \\ \alpha_- \end{array} \right) = 0.\tag{4}$

Esto tiene solución no trivial cuando el determinante de la matriz es cero, que es la condición de que

\begin{matrix} (5) & Ω^{2} = k^{2} (k^{2} - 2 a_{o}^{2}), \end{matrix}

$\Omega^2 = k^2(k^2-2a_o^2) \tag{5},$ que toma valores imaginarios (es decir, conduce a un crecimiento inestable) cuando

\begin{matrix} (6) & k < \sqrt{2} a_{o} . \end{matrix}

$k < \sqrt{2} a_o.\tag{6}$ (Nota: la forma en que se ha adimensionalizado el problema, todos los parámetros (p. ej.

k, a_{o}

$k,a_o$ ) no tienen unidades). Esto tiene una tasa de crecimiento máxima

\begin{matrix} (7) & yo metro (Ω_{*}) = a_{o}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Im}(\Omega_*) = a_o^2\tag{7}$ por

k_{*} = a_{o}

$k_* = a_o$ .

Ahora, esto es equivalente al llamado Benjamin-Feir (o inestabilidad de modulación) inherente a una variedad de sistemas físicos (por ejemplo, ondas de agua, láseres). A continuación, recuerde que el NLSE se puede derivar de una densidad hamiltoniana ${\cal H}$ , dónde

\begin{matrix} (8) & H = | A_{X} |^{2} - \frac{1}{2} | A |^{4}, \end{matrix}

${\cal H} = |A_x|^2 - \frac{1}{2} |A|^4,\tag{8}$ y las ecuaciones de Hamilton toman la forma

\begin{matrix} (9) & i \frac{\partial A}{\partial t} = \frac{d H}{d A^{*}} \end{matrix}

$i\frac{\partial A}{\partial t} = \frac{\delta {\cal H}}{\delta A^{\ast}}\tag{9}$ y el complejo conjugado de este.

Mi pregunta es, ¿hay algo en la estructura de este hamiltoniano que pueda darnos los resultados del análisis de estabilidad espectral de una manera diferente ? Ingenuamente, quiero saber si puedo deducir los criterios de inestabilidad y la tasa de crecimiento directamente de la estructura del hamiltoniano.

Soy vagamente consciente de cierto criterio de estabilidad utilizado en el estudio de la estabilidad de los sistemas hamiltonianos (por ejemplo, firmas de Kerin, etc.), pero no estoy familiarizado con su funcionamiento en la práctica (y en particular en este ejemplo relativamente simple) y agradecería enormemente cualquier consejos o referencias a recursos relevantes.

qmecanico

¿Está siguiendo una referencia particular para convenciones de signos?

nick p

@Qmechanic Lo importante aquí es el signo relativo entre la dispersión y la no linealidad. Esta es una propiedad del medio. Hay un zoológico de referencias para esto. Véase, por ejemplo, Zakharov (1968), "Estabilidad de ondas periódicas de amplitud finita en la superficie de un fluido profundo". El libro de Sulem y Sulem (Nonlinear Schrodinger Equation), también es una excelente referencia.

Respuestas (2)

Deducción de las tasas de crecimiento de la inestabilidad a partir del hamiltoniano para la ecuación de Schrödinger no lineal

¿Está siguiendo una referencia particular para convenciones de signos?
@Qmechanic Lo importante aquí es el signo relativo entre la dispersión y la no linealidad. Esta es una propiedad del medio. Hay un zoológico de referencias para esto. Véase, por ejemplo, Zakharov (1968), "Estabilidad de ondas periódicas de amplitud finita en la superficie de un fluido profundo". El libro de Sulem y Sulem (Nonlinear Schrodinger Equation), también es una excelente referencia.

qmecanico · Answer 1

I) La densidad hamiltoniana para el NLSE dice

\begin{matrix} (A) & H_{norte L S mi} = | A_{X} |^{2} - \frac{1}{2} | A |^{4}, \end{matrix}

${\cal H}_{NLSE}~=~|A_x|^2 - \frac{1}{2} |A|^4, \tag{A}$

donde nos interesa el caso con signo inestable delante del término cuartico. La densidad lagrangiana hamiltoniana es

\begin{matrix} (B) & L_{H} = i A^{*} \dot{A} - H_{norte L S mi}, \end{matrix}

${\cal L}_H~=~i A^{\ast} \dot{A} -{\cal H}_{NLSE},\tag{B}$

cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

II) Reemplacemos

\begin{matrix} (C) & A ⟶ (a_{0} + A) {mi}^{i (k_{0} X - ω_{0} t)}, ω_{0} := k_{0}^{2} - a_{0}^{2}, a_{0} > 0, \end{matrix}

$A \quad\longrightarrow\quad (a_0\!+\!A)e^{i(k_0x-\omega_0t)}, \qquad \omega_0~:=~k_0^2-a_0^2,\qquad a_0~>~0,\tag{C}$

ya que estamos interesados en la inestabilidad modulacional de Benjamin-Feir alrededor de una onda portadora $a_0e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ , y la nueva variable $A$ es una perturbación $|A| \ll a_0$ .

La densidad hamiltoniana lagrangiana (B) se convierte en

\begin{matrix} (D) & L_{H} = (A^{*} + a_{0}) {ω_{0} (A + a_{0}) + i \dot{A}} - {| A_{X} + i k_{0} (A + a_{0}) |}^{2} + \frac{1}{2} | A + a_{0} |^{4} \sim i A^{*} \dot{A} - H . \end{matrix}

${\cal L}_H~=~(A^{\ast}\!+\!a_0) \left\{\omega_0(A\!+\!a_0)\!+\!i \dot{A}\right\} -\left|A_x+ik_0(A\!+\!a_0)\right|^2 +\frac{1}{2} |A\!+\!a_0|^4 ~\sim~i A^{\ast} \dot{A} -{\cal H}.\tag{D}$

Después de descartar los términos derivados totales, la densidad hamiltoniana modificada es

H = \underset{= a_{0}^{2}}{\underset{⏟}{(k_{0}^{2} - ω_{0})}} | A + a_{0} |^{2} + i k_{0} {A_{X}^{*} A - A_{X} A^{*}} + | A_{X} |^{2} - \frac{1}{2} | A + a_{0} |^{4}

${\cal H}~=~\underbrace{(k_0^2-\omega_0)}_{=a_0^2}|A\!+\!a_0|^2 + ik_0\left\{A^{\ast}_x A - A_x A^{\ast}\right\} + |A_x|^2 - \frac{1}{2} |A\!+\!a_0|^4$

\begin{matrix} (MI) & \overset{k_{0} = 0}{=} \frac{1}{2} | a_{0} |^{4} + | A_{X} |^{2} - \frac{a_{0}^{2}}{2} (A + A^{*})^{2} + O (| A |^{3}) . \end{matrix}

$~\stackrel{k_0=0}{=}~\frac{1}{2} |a_0|^4 + |A_x|^2 - \frac{a_0^2}{2} (A\!+\!A^{\ast})^2 + {\cal O}(|A|^3). \tag{E}$ En la última igualdad, nos especializamos en el caso de OP.

k_{0} = 0

$k_0=0$ . Tenga en cuenta que

ω_{0} = - a_{0}^{2} < 0

$\omega_0=-a_0^2 <0$ es entonces negativo.

III) Mencionemos para completar que el término cuadrático $H_2$ en el hamiltoniano modificado

\begin{matrix} (F) & H = \int d X H = H_{0} + H_{1} + H_{2} + O (| A |^{3}) \end{matrix}

$H~=~\int \! \mathrm{d}x ~{\cal H}~=~H_0 +H_1 +H_2 + {\cal O}(|A|^3) \tag{F}$

lee

H_{2} =

$H_2~=~$

\begin{matrix} (GRAMO) & - \frac{1}{2} \iint d X d y \bar{(\begin{matrix} A (X) & A (X)^{*} \end{matrix})} (\begin{matrix} (\partial_{X}^{2} + a_{0}^{2}) d (X - y) & a_{0}^{2} d (X - y) \\ a_{0}^{2} d (X - y) & (\partial_{X}^{2} + a_{0}^{2}) d (X - y) \end{matrix}) (\begin{matrix} A (y) \\ A (y)^{*} \end{matrix}) A (X) . \end{matrix}

$- \frac{1}{2}\iint \! \mathrm{d}x ~\mathrm{d}y ~ \overline{\begin{pmatrix} A(x) & A(x)^{\ast}\end{pmatrix}} \begin{pmatrix} (\partial_x^2 + a_0^2) \delta(x\!-\!y) & a_0^2 \delta(x\!-\!y) \cr a_0^2 \delta(x\!-\!y) & (\partial_x^2 + a_0^2) \delta(x\!-\!y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A(y) \cr A(y)^{\ast}\end{pmatrix} A(x).\tag{G}$

IV) La ecuación de Hamilton dice

\begin{matrix} (H) & i \dot{A} = \frac{d H}{d A^{*}} \overset{(mi)}{=} - A_{X X} - {| A + a_{0} |^{2} - a_{0}^{2}} (A + a_{0}) = - A_{X X} - a_{0}^{2} (A + A^{*}) + O (| A |^{2}) . \end{matrix}

$i \dot{A}~=~\frac{\delta H}{\delta A^{\ast}} ~\stackrel{(E)}{=}~-A_{xx} -\left\{|A\!+\!a_0|^2-a_0^2 \right\} (A\!+\!a_0) ~=~-A_{xx} - a_0^2(A\!+\!A^{\ast}) + {\cal O}(|A|^2) . \tag{H}$

Tenga en cuenta que debido a la $A \leftrightarrow A^{\ast}$ mezcla necesitamos incluir al menos 2 modos:

\begin{matrix} (YO) & A = \sum_{\pm} ϵ_{\pm} {mi}^{\pm i (k X - ω t)} . \end{matrix}

$A ~=~ \sum_{\pm} \epsilon_{\pm} e^{\pm i(kx-\omega t)}. \tag{I}$

La ecuación de Hamilton linealizada (H) dice

\begin{matrix} (J) & (\begin{matrix} ω - k^{2} + a_{0}^{2} & a_{0}^{2} \\ a_{0}^{2} & - ω - k^{2} + a_{0}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϵ_{+} \\ ϵ_{-} \end{matrix}) \overset{(H) + (yo)}{=} 0, \end{matrix}

$\begin{pmatrix} \omega -k^2 +a_0^2 & a_0^2 \cr a_0^2 & -\omega -k^2 +a_0^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \epsilon_+ \cr \epsilon_-\end{pmatrix} ~\stackrel{(H)+(I)}{=}~0, \tag{J}$

que conduce a la ecuación de OP

\begin{matrix} (K) & ω^{2} = k^{2} (k^{2} - 2 a_{0}^{2}), \end{matrix}

$\omega^2 ~=~ k^2(k^2- 2a_0^2),\tag{K}$ y el criterio de OP

\begin{matrix} (L) & | k | < \sqrt{2} a_{0} \end{matrix}

$|k|~<~ \sqrt{2}a_0\tag{L}$ por inestabilidad

V) Si insertamos

\begin{matrix} (METRO) & A = ϵ porque (k X) \end{matrix}

$A ~=~ \epsilon \cos(kx) \tag{M}$

en el hamiltoniano cuadrático

\begin{matrix} (NORTE) & H_{2} \overset{(mi) + (METRO)}{=} ϵ^{2} \int d X {k^{2} {pecado}^{2} (k X) - 2 a_{0}^{2} {porque}^{2} (k X)}, \end{matrix}

$H_2~\stackrel{(E)+(M)}{=}~\epsilon^2 \int \! \mathrm{d}x ~\left\{ k^2 \sin^2(kx) - 2 a_0^2 \cos^2(kx)\right\}, \tag{N}$

se puede argumentar que esto es inestable si se satisface la desigualdad (L).

Maldición, ¿esto quedó a medias? Todavía no asimilo del todo el asunto de la adjudicación de autos.
@Qmechanic gracias por la respuesta. Creo que esto es equivalente a lo que terminé haciendo, que fue formar un lagrangiano de segundo orden (en la amplitud de la perturbación) del cual se sigue el resultado después de aplicar el principio de Hamilton. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero esto todavía parece "cinemático" hasta cierto punto, ya que todavía tenemos que trabajar con el álgebra. ¿No deberíamos poder mirar el espectro del hamiltoniano y ver cuándo los valores propios chocan y dejan que su eje se vuelva inestable?

steven mateo · Answer 2

El signo de su término de interacción es incorrecto. La energía no está limitada desde abajo. No se puede minimizar la energía para encontrar el estado más estable. La energía se minimiza por $|A| \to \infty$ .

Si cambia el signo del término no lineal en su ecuación, obtiene un problema linealizado similar aunque con el reemplazo $a_o^2 \to -a_o^2$ . Entonces sus frecuencias son reales y su energía más pequeña posible es cero.

Como lo sé, este es un modelo para bosones con interacciones repulsivas . Allí, cuando la densidad crece, los bosones interactúan con más fuerza y se repelen entre sí. Esto, a su vez, vuelve a disminuir la densidad. En tu caso tienes interacciones atractivas . Si aumentas la densidad, acercas las partículas entre sí y se facilita su interacción. La densidad crece aún más. Tienes una inestabilidad.

Gracias por la respuesta, pero no estoy muy seguro de lo que esto está diciendo. Tenga en cuenta que hay un zoológico de NLSE, del cual estoy hablando de uno que es aplicable, por ejemplo, a la descripción de ondas de aguas profundas de banda estrecha débilmente no lineales. Soy consciente de la inestabilidad. Creo que esto está claro. Solo tengo curiosidad acerca de si esta información (sobre las tasas de crecimiento de la INESTABILIDAD) se puede deducir directamente de la forma del hamiltoniano de alguna manera. Por favor, aclare si ha explicado esto y me estoy perdiendo el punto.
Entonces tienes razón y malinterpreté tu pregunta. Es extraño que la tasa de crecimiento esté relacionada con $a_o$ y no el hamiltoniano. Utiliza variables adimensionales. ¿Ha intentado volver a colocar las constantes de acoplamiento de dimensión completa?

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