Importancia de las órbitas periódicas

En el estudio de los sistemas dinámicos , a menudo se habla de soluciones que se repiten después de cierto tiempo, de ahí su nombre de " órbitas periódicas ". Luego uno pasa a la distinción de órbitas periódicas "estables" (por ejemplo, un péndulo 2D armónico) o " inestables ".

Primera pregunta:

  • ¿Todos los sistemas dinámicos (integrables o no) exhiben órbitas periódicas estables e inestables y, en caso afirmativo, por qué las órbitas periódicas son inherentes a todos los sistemas? (por ejemplo, ¿el péndulo simple 2D no caótico exhibe alguna vez órbitas periódicas inestables?)

Segunda pregunta:

  • En el estudio de los sistemas dinámicos (es decir, también caóticos ), ¿por qué se hace tanto énfasis en el estudio de las órbitas periódicas (soluciones) de un sistema (ya sea estable o inestable) en lugar de los otros tipos de soluciones que se pueden encontrar ( por ejemplo, cualquier órbita cerrada que no sea periódica, u otros tipos)?

Respuestas (1)

1ra pregunta:

Sí, todos los sistemas tienen áreas de movimiento periódico (o casi periódico , o periódico aislado ). Para sistemas integrables esto es lo esperado. Pero, de hecho, la existencia de soluciones periódicas aisladas es una forma de no integrabilidad (también relacionada con la segunda pregunta). Para conocer el significado exacto de solución periódica aislada, consulte el enlace sobre integrabilidad anterior.

Teniendo en cuenta la estabilidad, sí, todos los sistemas (integrables o no) pueden tener soluciones periódicas estables o inestables, por supuesto, para los sistemas caóticos no lineales, esta es la norma.

El péndulo 2D simple no caótico, no exhibe órbitas periódicas inestables (aunque sí exhibe puntos de equilibrio inestables)

2da pregunta:

Es posible que desee verificar la teoría KAM , que simplemente establece que un sistema no integrable que está cerca de un sistema integrable tendrá áreas donde las órbitas se mantienen (o en otras palabras, cualquier perturbación lo suficientemente pequeña lejos de un sistema integrable, puede ser estudiado por la teoría KAM usando las órbitas periódicas, o toros invariantes en el espacio de fase)

ACTUALIZAR:

Las soluciones periódicas estables (según los enlaces en cuestión) son soluciones periódicas que son dinámicamente estables, en otras palabras, si se perturba ligeramente, la órbita permanecerá cerca de la original,

Las soluciones periódicas inestables son aquellas soluciones periódicas que no son estables en el sentido anterior.

Las soluciones periódicas aisladas son tipos especiales de soluciones que se relacionan con pruebas de no integrabilidad para algunos casos especiales de hamiltonianos.

Las soluciones casi periódicas son soluciones que son periódicas en un sentido de probabilidad. Lo que significa que el sistema no regresa exactamente al mismo punto, sino que se acerca a él con probabilidad 1 en ciertos períodos.

Otro enlace sobre (medir) el caos en los sistemas hamiltonianos http://www.staff.science.uu.nl/~verhu101/SAMOSpap.pdf

Nótese, sin embargo, que las únicas fuerzas centrales de la forma F = − k r norte que tienen órbitas estables son las que tienen norte = 1 o − 2
@ user929304, según el enlace, el movimiento periódico aislado es una prueba de no integrabilidad (para algunos sistemas hamiltonianos)
@ user929304, las pruebas o la definición de caos se relacionan con los exponentes de laypunov (que a su vez se relacionan con soluciones periódicas inestables), las soluciones periódicas aisladas en la respuesta se refieren a pruebas de no integrabilidad, ¿está preguntando por la conexión entre sistemas caóticos y no? ¿Sistemas integrables?
@ user929304: una derivación adecuada de ese resultado es un capítulo completo del libro de mecánica clásica de Landau/Lifschitz. Te remito allí si te interesa. Y realmente, si estás interesado en preguntas como esta, ya deberías tener el libro de Landau/Lifschitz.
@ user929304, no estoy seguro, los billares son ejemplos principales de sistemas ergódicos que pueden exhibir un comportamiento complejo (pero que también incluyen órbitas más simples), tendría que mirar más a fondo, si puedo actualizar la pregunta para aclarar algo ( según tengo entendido) puedo hacer eso
@user929304, si necesita una estimación aproximada (a partir de las cifras) sobre los 8 billares elípticos , diría que los primeros 2 exhiben un movimiento casi periódico, las soluciones periódicas estables son aquellas con envolventes poligonales, el número 4 es inestable
@ user929304, 1) bueno, sí, se puede decir que en algún sentido, 2) un mapa de Poincare es una porción del espacio de fase para valores específicos de parámetros (para visualizar en cierto sentido las órbitas en sistemas complejos), no hay puntos suspensivos no corresponden a órbitas cuasi-periódicas (las elipses son simplemente círculos deformados), una curva en un mapa de Poincaré corresponde a una órbita estable, las regiones caóticas aparecen como puntos densos (cita "Si el punto inicial está dentro de una isla elíptica, su trayectoria está restringida en una curva 1-d "), etc.
@ user929304, bueno, estas observaciones son aproximadas y generales, uno no puede explicar todos los patrones y complejidades (que pueden requerir cálculos extensos) en una pregunta o un comentario, tal vez obteniendo algunas referencias sobre dinámicas no lineales (el libro landau/lipshitz es un buena introducción, hay otras más específicas por supuesto), espero que sea útil
"Sí, todos los sistemas tienen áreas de movimiento periódico (o casi periódico, o periódico aislado)". No es cierto: ¿cuántas órbitas periódicas (o órbitas casi periódicas, etc.) X ˙ = 1 ¿tener?
Importancia de las órbitas periódicas
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