¿Esta cantidad adimensional tiene un nombre?

No tengo conocimiento de ninguna cantidad adimensional que esto represente, y Wikipedia parece estar de acuerdo . Sin embargo, lo que ha definido allí es la relación entre el esfuerzo de presión y el esfuerzo viscoso, y esto es, en cierto sentido, similar al Número de Bingham (esfuerzo de fluencia a esfuerzo viscoso).

Entonces, ¿qué significaría tu número? Sigamos adelante y llamémoslo el número de Toliveira por el momento. Cuando$To \gg 1$, la tensión de presión es mucho más importante que la tensión viscosa. Esto significa que la dilatación es un efecto mayor que el corte (recuerde, la tensión de presión es la traza del tensor de tensión). Entonces, un paquete de fluido crece o se contrae isotrópicamente mucho más de lo que se deforma bajo cizallamiento.

Lo contrario de esto,$To \ll 1$implica que el volumen del elemento fluido no cambia tanto como cambia la forma del elemento fluido. El cizallamiento domina la dilatación.

Podría imaginar que este número puede ser importante para definir regímenes donde la liberación de calor volumétrico es importante (combustión, por ejemplo) o regiones donde la compresión es grande pero las fuerzas viscosas son pequeñas (choques). Pero tengo la sensación de que hay números más directamente en el punto en esos casos. Seguiré cavando.

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Después de investigar un poco más, encontré un número que está un poco cerca. El número de Poiseuille se define como:

$$P = -\frac{d p}{dx} \frac{L^2}{2\mu U}$$

Esto relaciona el gradiente de presión en un conducto laminar con las fuerzas viscosas en el conducto. Para un flujo incompresible, la presión ya no significa mucho, pero el gradiente de presión es importante ya que es lo que impulsa los flujos. En su comentario, preguntó si el número que dio tiene algún significado en un flujo incompresible. Estoy bastante seguro de que la respuesta es no porque la presión absoluta no es lo que importa, pero los gradientes de presión sí importan.

Una forma de pensar en el número de Reynolds es observar que mide la magnitud relativa de las tensiones viscosa e ideal (inercial) en el fluido.

$${\it Re}^{-1} = \frac{\mu\nabla u}{\rho u^2} = \frac{\mu}{\rho Lu}\, .$$ Sin embargo, el tensor de tensión de un fluido ideal tiene dos términos, uno relacionado con la presión y otro relacionado con las tensiones de inercia. $$\Pi_{ij}=\delta_{ij}P+\rho u_i u_j\, .$$ La importancia relativa de estos dos términos (en un fluido comprimible) se rige por el número de Mach del flujo $${\it Ma} = \frac{u}{c_s} = \sqrt{u^2\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)^{-1}}\, .$$ Su parámetro adimensional mide la importancia relativa de la tensión viscosa y las tensiones ideales (presión) $${\it New} = {\it Ma}^{-2}\cdot{\it Re}\, .$$ Este es el parámetro de expansión de la expansión hidrodinámica (la justificación para descartar términos más allá del término de Navier Stokes) en fluidos compresibles. Esto no es tan exótico como parece, los gases atómicos fríos, los líquidos nucleares, los plasmas de quarks y gluones, y muchos problemas en la dinámica de gases ordinarios están en esta categoría. ${\it New}$No tiene nombre, pero se lo merece.

En cualquier formulación adimensional de las ecuaciones de Navier-Stokes, nunca encontrará un número adimensional como coeficiente frente al gradiente de presión adimensional. Esto se debe a que el gradiente de presión siempre debe ser del mismo orden que uno de los otros términos viscosos o inerciales:

$$\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{\nabla}p + \frac{1}{\mathrm{Re}}\Delta\boldsymbol{v}$$ $$\mathrm{Re}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{\nabla}p + \Delta\boldsymbol{v}$$ Por ello dependiendo del régimen (viscoso o inercial) en el que nos encontremos, la escala de presiones cambia: $$p_{vis}=\mu\frac{U}{L} \quad p_{in}=\rho U^2$$

Ahora siempre es posible reorganizar las variables para generar una 'cantidad' adimensional como la que tienes:

$$\Pi=\frac{pL}{\mu U}$$ pero no lo consideraría un 'número' adimensional ya que no caracteriza la dinámica de ninguna manera como, por ejemplo, lo hace el número de Reynolds. Esa es la magnitud de $\Pi$no da información sobre los términos en las ecuaciones de Navier-Stokes. En cambio, es simplemente una relación de cantidades (también conocido como simplex) muy parecido a $x/L$es una razón de dos longitudes.