Navier-Stokes incompresible no dimensionalizante

Las dos ecuaciones solo difieren en un cambio de escala trivial de la coordenada de tiempo y, por lo tanto, son equivalentes. Si$u(x,t)$es una solución de la primera ecuación, entonces$u(x,{\it Re}\, t)$es una solución de la segunda. Re es físicamente relevante porque gobierna la importancia relativa de los términos advectivo y disipativo. multiplicando$\partial_t u$por una constante es solo un cambio de escala y no tiene significado físico.

... el propósito de la no dimensionalización es "colapsar" las soluciones en una curva para que el espacio de la solución se pueda explorar con menos parámetros.

Ese es un 'propósito' de la no dimensionalización; otros dos son la identificación de las escalas características de longitud, velocidad, presión, etc. y el análisis de la ecuación bajo diferentes regímenes, en este caso$\mathrm{Re}\ll1$(viscosidad dominada) y$\mathrm{Re}\gg1$(dominado por convección).

Las escalas de longitud característica son las escalas del sistema que caracterizan de manera única la dinámica, de modo que todos los términos de las ecuaciones (incluidas las condiciones iniciales/de contorno) son$O(1)$o más pequeño. Has elegido un conjunto de escalas con las que adimensionalizas la ecuación, pero ¿son escalas características? Bueno, vamos a ponerlo a prueba.

Primero, considere el régimen dominado por convección para el cual determina:

$$\partial_t u_i + u_j \partial_j u_i = -\partial_i p + \mathrm{Re}^{-1} \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \qquad \text{using convective time scale}$$

En este régimen,$\mathrm{Re}\gg1$y asumiendo que la escala se hizo correctamente, es decir, todas las variables no dimensionales son$O(1)$, entonces vemos que todos los términos son$O(1)$o menor (ya que$O(\mathrm{Re}^{-1})\ll O(1)$). Esto indica que el escalado se realizó correctamente y que las escalas son las escalas características en este régimen. Dado que el término viscoso es insignificantemente pequeño en comparación con el término convectivo, podemos ignorarlo por completo. Tenga en cuenta que el término de presión es del mismo orden que el término convectivo; el gradiente de presión siempre debe ser del mismo orden que el término dominante en la ecuación para equilibrar los términos.

Consideremos ahora el régimen viscoso donde$\mathrm{Re}\ll1$, encuentras (después de dividir por$\mathrm{Re}^{-1}$):

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re} \partial_i p + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

Vemos aquí que de nuevo todos los términos son$O(1)$o menor (ya que$O(\mathrm{Re})\ll O(1)$). En este régimen, podemos despreciar los términos convectivos ya que los términos viscosos son dominantes. Sin embargo, aparentemente el gradiente de presión también es insignificante, lo que de hecho debería ser del mismo orden que los términos viscosos. Esto indica que el escalamiento propuesto en este régimen no es correcto.

Para resolver este problema requerimos un reescalado de la escala de presión. vamos a reescalar$[p]^* = \mathrm{Re}^{\alpha}[p]$dónde$\alpha$es una constante por determinar. Sustituyendo en las ecuaciones se obtiene:

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re}^{1+\alpha} \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

Para que el gradiente de presión sea del mismo orden que los términos viscosos, requerimos$1+\alpha=0$o$\alpha=-1$. Entonces obtenemos:

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

y la escala de presión se reescaló a$[p]^* = \mathrm{Re}^{-1}[p] = \frac{\mu U}{L}$que es claramente una escala de presión viscosa como es evidente por la presencia de la viscosidad$\mu$. Esto contrasta con la escala de presión original.$[p] = \rho U^2$que claramente no contiene una viscosidad y solo era apropiado en el régimen convectivo$\mathrm{Re}\gg1$. Por lo tanto, podemos referirnos a ella como una escala de presión convectiva.

Para concluir respondiendo a sus preguntas:

1. Debido a que las ecuaciones son válidas solo para dos regímenes diferentes establecidos por su elección de escalas,$\mathrm{Re}\ll1$y$\mathrm{Re}\gg1$.
2. La única solución 'relacionada' se encontrará para$\mathrm{Re}=1$, de lo contrario, las soluciones serán completamente diferentes. De hecho, las soluciones analíticas generalmente solo son posibles para$\mathrm{Re}\ll1$porque las ecuaciones se vuelven lineales. Para$\mathrm{Re}\gg1$, las ecuaciones son altamente no lineales, por lo que solo es numéricamente posible obtener soluciones.
3. No, ver respuesta a 2.