Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo 1+1D en comparación con la ecuación de Dirac 3+1D "estándar"

Algunas diferencias son que " hablando con propiedad ", " en (1 + 1) dimensiones, no existe el espín", lo que explicaría el "esperaba poder asignar significado al "espín" del campo ψ " cita en su documento, y proviene del hecho de que "El pequeño grupo$G(0)$puede tomarse como la definición del espín de una partícula" ( p.307 ), pero a pesar de esto " existen espinores de Majorana o Weyl en dos dimensiones para cualquier elección de firma. Además, en el espacio-tiempo bidimensional de Minkowki hay fermiones de Majorana-Weyl ", como se puede ver en la tabla (De Polchinski Vol. 2 Apéndice A) a continuación, donde el tamaño de las matrices gamma de Dirac depende de la dimensión del espacio y la posibilidad de reducir la representación de Dirac a representaciones Weyl o Majorana depende de las dimensiones, donde por ejemplo en 4D solo podemos tener Weyl o Majorana pero no ambos, mientras que en 1-1 podemos tener ambos Estas son algunas diferencias básicas.$SO(2,1)$El caso dimensional también tiene propiedades extrañas que permiten " aniones ", análogos de bosones y fermiones.

Con respecto al comentario de "sucursales" en P7 de sus notas, al igual que el grupo de Lorentz$SO(3,1)$está desconectado, el grupo$SO(1,1)$también está desconectado, como cualquier$SO(p,q)$grupo cuando ambos$p,q > 1$. El autor está comparando este grupo desconectado con el grupo conectado.$SO(3)$al tratar de entender lo que está pasando, por lo que se refiere a$SO(1,1)$estar desconectado como "inusualmente disjunto" en comparación con$SO(3)$sin embargo, esto es muy natural ya que el grupo de Lorentz$SO(3,1)$también está desconectado.

Sobre la noción de "existe el giro en dimensiones 1 + 1", creo que esto depende de cómo se defina. Las matrices gamma se pueden dividir en tiempo más las matrices de espín de Pauli; lo que está haciendo al pasar de 3 dimensiones en las matrices de espín de Pauli a solo 1 dimensión es que se está restringiendo a$\sigma_z$y dejando al otro$\sigma$Matrices apagadas. Entonces, el espín todavía existe como vectores propios para$\sigma_z$.

Lo que significa "las dos ramas del espinor son disjuntas": una diferencia entre los vectores (que siguen la representación fundamental de SO(3)) y los espinores (que siguen la representación fundamental de SU(2)) es que los espinores tienen "doble valor ". Girar un espinor por$2\pi$cambia su signo, es decir, lo multiplica por -1, no ocurre tal cambio en un vector.

Ahora la frase "girar un espinor por$2\pi$'' necesita ser definido con más cuidado. Para obtener la fase compleja$-1 = \exp(2i\pi\;\;(2\pi/4\pi))$necesitas para la rotación para tallar$2\pi$ster-radianes de la esfera de Bloch cuya superficie total es$4\pi$. Puede hacer esto rotando a lo largo de un gran arco circular de +z a +x a -z a -x y luego a +z. Pero esto requiere el uso de la dimensión x, por lo que es imposible en 1+1 dimensiones. Por lo tanto, la cubierta doble está disjunta en dimensiones 1+1, mientras que puede usar rotaciones para mostrar que no está en 2+1 o 3+1 o 4+1 o más grande.

Como excusa para hacer cálculos, puede hacer la rotación multiplicando bras y kets para girar en varias direcciones. El signo menos de la rotación de un espinor a través de la ruta del gran círculo que va de +z a +x y de vuelta a +z nuevamente viene dado por un producto de operadores de proyección (matrices de densidad pura) que dará un signo menos por el operador de proyección para girar en la dirección +z. Eso es:

$|+z\rangle\langle+z||-x\rangle\langle-x||-z\rangle\langle-z||+x\rangle\langle+x||+z\rangle\langle+z| = -|+z\rangle\langle+z|/4$

donde el signo - proviene de la fase geométrica$\exp(2i\pi\;(2\pi/4\pi)) = \exp(i\pi) = -1$y el 1/4 proviene de las cuatro pérdidas de cada$\sqrt{1/2}$en amplitud en cada cambio de espín.

Ahora cambie de espinores a vectores (digamos la repetición fundamental de SO(3) o la repetición de espín-1 de SU(2) y haga el mismo cálculo que arriba, el signo menos desaparece ya que las representaciones no son cubiertas dobles.