¿Cuál es el papel del álgebra del espacio-tiempo?

El álgebra de Clifford $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^{1,3})$es el álgebra generada al dotar a los vectores en$\mathbb{R}^{1,3}$con una multiplicación de álgebra libre y luego imponiendo la restricción dada por$v \circ v = \eta^{\mu\nu}v_\mu v_\nu$con$\eta$como la métrica de Minkowski en$\mathbb{R}^{1,3}$.

Cualquier álgebra de Clifford tiene una conexión natural con el álgebra exterior porque simplemente puede dar un isomorfismo de espacio vectorial mediante el mapeo$e_i \wedge e_j$a$e_i \circ e_j$, y el álgebra exterior tiene el significado geométrico de describir$k$-aviones en$\mathbb{R}^n$, vea también mi respuesta sobre vectores y pseudovectores .

De hecho, el álgebra exterior es el álgebra de Clifford con$\eta = 0$. Por lo tanto, se puede ver el álgebra de Clifford$\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4,\eta)$como una deformación (o cuantización ) del álgebra exterior, con la forma cuadrática$\eta$medir el fracaso de$\circ$ser anticonmutativo.

Ahora bien, ¿qué tiene que ver esto con el grupo de Lorentz? El grupo Lorentz$\mathrm{SO}(1,3)$es el grupo de isometrías (que conservan el origen) del espacio de Minkowski, y el truco es que al construir el álgebra de Clifford con$\eta$lleva representaciones de las isometrías preservando$\eta$:

El álgebra de Clifford se descompone naturalmente en grados , al igual que el álgebra exterior:

dónde$\mathrm{Cl}_n$es el subespacio vectorial generado por$n$-veces productos de vectores de$\mathbb{R}^{1,3}$. el segundo grado$\mathrm{Cl}_2$de esto es de seis dimensiones.

Notemos primero que el álgebra de Clifford es un espacio de representación del grupo de Lorentz con la representación dada simplemente extendiendo linealmente la acción en el primer grado, que es simplemente$\mathbb{R}^{1,3}$a todos los demás grados. Además, los grados son espacios de subrepresentación adecuados, y uno puede convencerse de que el álgebra de Clifford realmente no es más que

lo cual no es sorprendente ya que es isomorfo al álgebra exterior como un espacio vectorial, después de todo. Lo interesante es que hay otra representación "oculta" en su interior:

Si tomamos una base "ortonormal"$\gamma^i$de$\mathbb{R}^{1,3}$con$\eta(\gamma^i,\gamma^j) = \eta^{ij}$, entonces el segundo grado es atravesado por los seis$\sigma^{ij} := \frac{1}{4}(\gamma^i \circ \gamma^j - \gamma^j \circ \gamma^i) = \frac{1}{4}[\gamma^i,\gamma^j]$. Los conmutadores de estos se encuentran ahora en el cuarto grado, que es unidimensional y, por lo tanto, solo un número. Cálculo de los conmutadores del$\sigma^{ij}$muestra que son exactamente los conmutadores de$\mathfrak{so}(1,3)$, por lo tanto, ¡hay una representación del álgebra de Lorentz sentada en el grado medio de esta álgebra de Clifford! ¹

Y esta representación no es ni vectorial ni tensorial, es una verdadera representación espinoral actuando sobre$\mathrm{Cl}_1$, que se puede ver desde la acción de$\mathrm{Cl}_2$toma los vectores en$\mathrm{Cl}_1$a pseudovectores en$\mathrm{Cl}_3$, lo que significa que no es una representación lineal propiamente dicha, sino una representación proyectiva. Mediante una inspección más detallada, se puede ver que$\mathrm{Cl}_2$en$\mathrm{Cl}_1$² es, de hecho, la representación espinorial habitual de Dirac, pero incluso sin ningún cálculo, puede ver que es espinorial, ya que no se comporta correctamente con los reflejos. ³

^{1 Sin embargo, no del grupo de Lorentz: como representación espinorial, esta es solo una representación lineal adecuada de la portada del grupo de Lorentz.}

^{2 Para obtener el$\mathrm{Cl}_2$acción para producir realmente elementos en$\mathrm{Cl}_1$en lugar de$\mathrm{Cl}_3$, utilice la dualidad de Hodge entre$\mathrm{Cl}_1$y$\mathrm{Cl}_3$.}

^{3 Es muy interesante notar que en ninguna parte aquí ha ocurrido una complejización: esta versión de obtener una representación espinorial en realidad no necesita números complejos, aunque la teoría cuántica, por supuesto, los necesita.}