Espinores de Lorentz de SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) y espinores conformes de SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)

  • Sería genial si alguien me puede dar una referencia (¡lo suficientemente breve!) Que explique la teoría de la representación (de Spinor) de los grupos S O ( norte , 1 ) y S O ( norte , 2 ) .

He buscado en algunos libros de teoría de representación estándar y no pude encontrar ninguno.

  • Más específicamente me gustaría saber cómo un espinor de Lorentz de S O ( norte − 1 , 1 ) (decir q ) se "completa" en un espinor conforme de S O ( norte , 2 ) (decir V ) diciendo,

V = ( q , C S ¯ )

dónde C es un "operador de conjugación de carga" y S es probablemente otro S O ( norte − 1 , 1 ) espinor.

¿Hay alguna representación natural del álgebra de Clifford ( Γ ) acechando por aquí con respecto al cual puedo definir el "operador de conjugación de carga" como C tal que C − 1 Γ C = − Γ T ? (... en general, una representación del álgebra de Clifford también da una representación de S O ( norte , 1 ) ...Me gustaría saber cómo podría funcionar esta idea general aquí...)

  • Algunos de los otros aspectos de esta teoría de grupos que quiero saber son una explicación de hechos como,

    • S pag ( 4 ) es lo mismo que S O ( 3 , 2 ) , y el fundamento de S pag ( 4 ) es el espinor de S O ( 3 , 2 )
    • S tu ( 2 , 2 ) es lo mismo que SO(4,2), y la fundamental de S tu ( 2 , 2 ) es el espinor de S O ( 4 , 2 )

    (... solo dos "hechos" con la esperanza de que la gente pueda señalarme alguna literatura (¡con suerte, breve!) que explique la sistemática de la cual los anteriores son probablemente dos ejemplos...)

Respuestas (1)

Albert Crumeyrolle, "Álgebras de Clifford ortogonales y simplécticas", Kluwer, Dordrecht, 1990.

Uno encuentra para el álgebra de Clifford C ( metro , norte ) Vectores de base γ m que los elementos 1 2 ( γ m γ v − γ v γ m ) generar un álgebra de Lie que sea isomorfa a s o ( metro , norte ) . Con dos nuevos vectores base en C ( metro + 1 , norte + 1 ) que son ortogonales a la γ m , γ PAG y γ METRO , decir,

  • 1 2 ( γ PAG + γ METRO ) γ m generar lo que puede ser tomado como traducciones,
  • 1 2 γ PAG γ METRO genera lo que se puede tomar como dilataciones,
  • y 1 2 ( γ PAG − γ METRO ) γ m generar lo que puede tomarse como transformaciones conformes especiales.

Los espinores son ideales de las álgebras de Clifford, cuya estructura precisa ---real, compleja o cuaterniónica--- depende de la dimensionalidad y de si se trabaja sobre los reales o sobre el campo complejo.

El Crumeyrolle no está escrito para físicos, pero la estructura subyacente es la misma.

¿Este libro de Crumeyrolle habla de la teoría de la representación de S O ( norte , 1 ) y S O ( norte , 2 ) ? (... Estoy preguntando esto específicamente ya que incluso los libros estándar sobre representación de espinores no hablan de estas clases de grupos...)
Lo siento, Anirbit, no recuerdo eso y no tengo una copia. Escribí una tesis de maestría sobre álgebras de Clifford (Física de partículas, pero realizada en un departamento de matemáticas) hace casi 20 años, para la cual encontré que Crumeyrolle era el texto más útil en ese momento, al nivel matemático del que era capaz, en parte porque a menudo hacía presentaciones bastante explícitas. Crumeyrolle analiza los grupos SO(m,n) indirectamente en la medida en que analiza los grupos Spin y Pin. Sin embargo, si desea matemáticas explícitas dirigidas a los grupos de Lie en lugar de a las álgebras de Lie, creo que estará mejor con otro libro.
Espinores de Lorentz de SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) y espinores conformes de SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)
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