Notación twistor en el espacio-tiempo (Parte 1)

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Notación twistor en el espacio-tiempo (Parte 1)

usuario6818

Esta es una especie de continuación de esta y esta discusión anterior.

En el primero de mis enlaces se ve la isometría sobreyectiva entre real o complejo $(1,3)$ el espacio característico de Minkowski y el tramo real o complejo (respectivamente) de las matrices de Pauli se darán como, $V_\mu \mapsto V_{\alpha \dot{\alpha}} = V^\mu \sigma _{\mu \alpha \dot{\alpha}}$ utilizando las matrices estándar de Pauli .

En referencia al segundo de los enlaces anteriores, se necesitaría otro conjunto de matrices (digamos A) para "invertir" el mapa anterior como $V^\mu = A^{\mu \dot{\alpha} \alpha} V_{\alpha \dot{\alpha}}$ . ¿Cuáles serían estas matrices? $A^\mu$ ?

(... en la expresión similar a la anterior en la respuesta de Lubos, tiene $V_\mu = \sigma _ \mu ^{\alpha \dot{\alpha}} V_{\alpha \dot{\alpha}}$ ..que parece tener el $\alpha$ y $\dot{\alpha}$ índices en lugares inesperados (¿equivocados?) y no parece lo contrario de $V_{\alpha \dot{\alpha}} = V^\mu \sigma _{\mu \alpha \dot{\alpha}}$ ..)

En el segundo de mis enlaces la respuesta de Lubos dice que la relación entre $V_\mu$ y $V_{\alpha \dot{\alpha}}$ es un reflejo del hecho de que $SL(2,C)$ es una doble cubierta (por lo tanto, localmente isomorfa) de $SO^+(1,3)$ .

Esto es confuso para mí, ya que, como también se señaló en la misma respuesta, un $4$ El vector puede considerarse como un producto tensorial del $2$ y $\bar{2}$ representaciones de $SL(2,C)$ (... los fermiones de Weyl a la izquierda y a la derecha...)

Por lo tanto, ¿no es la relación entre $V_\mu$ y $V_{\alpha \dot{\alpha}}$ y la interpretación anterior proviene del hecho de que el complejo $(1,3)$ El espacio de la firma Minkowski admite un $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ representacion de $SL(2,C)\times SL(2,C)$ ?
- A la luz de lo anterior, ¿no es necesario que se trate de vectores espacio-temporales complejos ? $V_\mu$ hacer la interpretación de ellos como yaciendo en productos tensoriales de $2$ y $\bar{2}$ representaciones de $SL(2,C)$ ?
¿O está allí de alguna forma implícita ya que Lubos no parece necesitar la condición de twistor nulo como lo requiere la respuesta de Roy Simpson para mapear el espacio real de Minkowski?
- El mapeo anterior entre $V_\mu$ y $V_{\alpha \dot{\alpha}}$ parece haber construido en él la convención de signos más negativa para la métrica. ( $det(V_{\alpha \dot{\alpha}}) = (V^0)^2 - \sum _{i =1} ^{i=3} (V^i)^2$ ) ¿Cómo cambia uno el mapeo si quiere trabajar en la convención de signos más positiva?
- Una vez que uno ha mapeado un vector de espacio-tiempo $V^\mu$ a $V_{\alpha \dot{\alpha}}$ ¿Cuándo es cierto que ahora se pueden encontrar espinores de Weyl quirales izquierdo y derecho? $\lambda_\alpha$ y $\bar{\lambda}_\dot{\alpha}$ tal que $V_{\alpha \dot{\alpha}} = \lambda_\alpha \bar{\lambda}_\dot{\alpha}$ ?
¿Es sólo cuando $V$ es un vector nulo como es el caso de la aplicación moderna de dispersión de gluones rápidos donde uno desprecia su masa? (..pero ahi estoy confundido a ver porque no tanto $\lambda$ y $\bar{\lambda}$ se usa para cada uno de los gluones pero solo uno dependiendo de las identificaciones sobre la naturaleza del (anti)artículo entrante/saliente..)

Estoy usando la convención de tener ambos $\alpha$ y $\dot{\alpha}$ estar abajo como veo en muchos artículos recientes de teoría de cuerdas. Supongo que a veces uno quiere escribir el índice de las representaciones conjugadas ( $\dot{\alpha}$ ) arriba y $\alpha$ abajo.

Ron Maimón

La convención es nunca tener índices con puntos y sin puntos siempre hacia abajo, sino que a veces están hacia arriba y otras hacia abajo. Está bien hacerlos ambos en las matrices sigma, eso es solo una convención.

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Notación twistor en el espacio-tiempo (Parte 1)

La convención es nunca tener índices con puntos y sin puntos siempre hacia abajo, sino que a veces están hacia arriba y otras hacia abajo. Está bien hacerlos ambos en las matrices sigma, eso es solo una convención.

Motl de Luboš · Answer 1

las matrices $A^\mu$ son claramente las matrices inversas que multiplican los "componentes bispinores" de un vector para obtener el componente vectorial habitual. Entonces $A^{\mu\dot\alpha \alpha}$ es el inverso a $\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}$ - tratas a la $\alpha,\dot\alpha$ índices como las filas y columnas, y este inverso también se puede obtener simplemente elevando los índices vectoriales a través de $\eta^{\mu\nu}$ y los índices de espinor a través de $\epsilon_{\alpha\beta}$ etc.

Así que toda esta discusión fue solo para decir que

A^{m \dot{α} α} \equiv σ^{m, α \dot{α}}

$A^{\mu\dot\alpha\alpha}\equiv \sigma^{\mu,\alpha\dot\alpha}$ lo cual no es sorprendente porque es el único objeto "bien covariante" con un índice vectorial y los dos índices espinores.

$SL(2,C)$ es localmente isomorfo a $SO(3,1)^+$ y viceversa. Esto significa que las representaciones irreducibles de estos dos grupos (permitiendo cualquier cambio de fase para rotaciones de 360 grados) pueden obtenerse a partir de productos tensoriales de las representaciones fundamentales de $SL(2,C)$ . Debido a que las representaciones fundamentales son complejas, hay dos de ellas, ${\bf 2}$ y $\bar{\bf 2}$ , y las representaciones irreducibles son

2^{\otimes 2 j_{L}, s y metro} \otimes {\bar{2}}^{\otimes 2 j_{R}, s y metro}

${\bf 2}^{\otimes 2j_L,sym} \otimes \bar{\bf 2}^{\otimes 2j_R,sym}$ Entonces esta es solo una representación cuya dimensión (compleja) es

(2 j_{L} + 1) (2 j_{R} + 1)

$(2j_L+1)(2j_R+1)$ . Si

j_{L} = j_{R}

$j_L=j_R$ , se puede imponer una condición de realidad a esta representación (una que tiene que intercambiar

j_{L}

$j_L$ y

j_{R}

$j_R$ porque la conjugación compleja intercambia

2

${\bf 2}$ y

\bar{2}

$\bar{\bf 2}$ ) entonces

(2 j_{L} + 1) (2 j_{R} + 1)

$(2j_L+1)(2j_R+1)$ es también la dimensión real.

Condiciones de realidad sobre las representaciones

Esto responde a otra pregunta tuya. Si $j_L=j_R$ , entonces no es necesario pensar en la representación compleja porque la representación puede hacerse real: hay una condición de realidad natural (conmutando con la acción del grupo) que puede imponerse para convertir la representación compleja en real.

Esta representación especificada por $(j_L,j_R)$ también puede considerarse como una continuación de una representación similar de $SU(2)\times SU(2)$ que es localmente isomorfo a $SO(4)$ . Sin embargo, $SO(4)$ claramente no es localmente isomorfo a $SO(3,1)$ – equivalentemente, $SU(2)\times SU(2)$ no es localmente isomorfo a $SL(2,C)$ . Sin embargo, la complejidad de todos estos grupos es la misma: es $SO(4,C)$ que es localmente lo mismo que $SL(2,C)\times SL(2,C)$ – lo que significa que siempre se puede obtener una representación de uno de los grupos continuando las representaciones de otro. Porque las representaciones irreductibles de $SU(2)\times SU(2)$ obviamente están dados por dos momentos angulares independientes, $(j_L,j_R)$ , uno para cada factor, lo mismo es cierto para $SL(2,C)$ aunque el grupo en sí no se desdobla en dos factores (un producto directo). El hecho de que dos independientes $j$ tiene que ser especificado para $SL(2,C)$ tiene una explicación diferente, a saber, que su representación fundamental es compleja, por lo que en realidad hay dos repeticiones fundamentales no equivalentes.

Firma

Si quieres que el determinante cambie de signo, simplemente multiplicas $\sigma_{\mu\alpha\dot\alpha}$ Por una $i$ . Eso funciona simplemente porque $i^2=-1$ . si pensaste eso $i$ es un número impactante, no lo es: algunas de las matrices $\sigma_\mu$ son inevitablemente imaginarios puros independientemente de su convención (tenga en cuenta que la matriz de Pauli $\sigma_y$ es puro imaginario, por ejemplo). Multiplicando todos ellos por $i$ o $-i$ convierte los reales en imaginarios puros y viceversa: eso es equivalente al cambio de las convenciones para tensores métricos "mayormente positivos" o "mayormente negativos".

Factorización de vectores

A veces se puede factorizar $V_{\alpha\dot\alpha} = \lambda_\alpha \bar\lambda_{\dot \alpha}$ . Sin embargo, claramente no es el caso para todos los vectores. $V$ . solo calcula $V_\mu V^\mu$ utilizando este Ansatz. lo obtendrás $(\lambda)^2 (\bar\lambda)^2$ que desaparece idénticamente porque cada factor es cero. Tenga en cuenta que $\lambda^2=\epsilon_{\alpha\beta}\lambda^\alpha\lambda^\beta$ desaparece porque es un tensor antisimétrico contraído con uno simétrico. Entonces, solo los vectores nulos pueden factorizarse de esta manera. Pero sí, todos ellos pueden. Si $\bar\lambda$ se requiere que sea conjugado complejo para $\lambda$ , entonces $V$ debe ser un vector nulo real dirigido al futuro (o dirigido al pasado, según la convención de firmas discutida anteriormente) para que exista la descomposición.

No hay una "convención" involucrada si solo escribe expresiones con todos los índices manifiestos. Uno siempre puede subir y bajar los índices de espinor usando $\epsilon$ : sólo hay que decidir cómo se ordenan los índices en este $\epsilon$ que afecta sólo al signo global.

Siento que la discusión anterior usa muchas identidades simples y pasos con los que quizás no esté familiarizado, como subir y bajar los índices de espinor con el épsilon y cosas que se derivan de las traducciones, como

σ_{m, α \dot{α}} σ_{v}^{α \dot{α}} = η_{m v}

$\sigma_{\mu,\alpha\dot\alpha} \sigma_{\nu}^{\alpha\dot\alpha} = \eta_{\mu\nu}$ Pero puede haber muchas de estas cosas. Tienes que redescubrirlos y comprobarlos tú mismo. Son inevitables por la simetría y uno no puede enumerar absolutamente todos los aspectos de estos grupos y representaciones en una respuesta de Physics Stack Exchange.

¡Gracias por las aclaraciones! Permítame pedirle que arroje algo más de luz sobre algunos de los puntos (1) ¿Esta identidad que cita $Tr[\sigma _\mu (\sigma _\nu)^T] = \eta_{\mu \nu}$ ¿Se sigue de la matriz general de Pauli/álgebra SL(2,C) o es solo una propiedad de la representación estándar? (2) ¿Puede explicar cuál es esta condición de "realidad" (¿majorana?) que quiere imponer a $(j,j)$ representaciones de $sl(2,C)\times sl(2,C)$ ?
(3) Supongo que uno tiene los isomorfismos después de la complejización $so(1,3,\mathbb{C}) = (su(2) \times su(2))_\mathbb{C} = sl(2,\mathbb{C})\times sl(2,\mathbb{C}) = so(4,\mathbb{C})$ Supongo que ninguno de estos isomorfismos desciende al nivel de los grupos de Lie. El $2$ y el $\bar{2}$ representaciones de la $sl(2,\mathbb{C})$ que te refieres como complejos conjugados entre sí, supongo que son lo mismo que las representaciones de Weyl irreducibles conjugadas de $so(1,3,\mathbb{C})$ ? ¿bien? (... y eso es lo que también llamas las "representaciones fundamentales"..) Sería genial si pudieras aclarar este punto.
La fórmula de seguimiento en mi forma se mantiene en cualquier base; solo tiene que hacerlo porque LHS es un tensor covariante con dos índices y el tensor métrico es el único candidato.
Una condición de realidad simplemente significa que dices que las coordenadas de los vectores -elementos de la representación- son reales, $v_i=v^*_i$ . La palabra "Majorana" es mucho más complicada y avanzada que "condición de realidad". Deberías haber aprendido primero lo que significa imponer una condición de realidad antes de aprender cosas como "Majorana". No sé qué hacer para explicar cosas básicas como las condiciones de la realidad. Hay un mapa de estructura. $j(v)$ actuando sobre vectores y conmutando con el grupo, $j(g(v))=g(j(v))$ , que obedece $j(j(v))=v$ en cuyo caso es una representación real...
o $j(j(v))=-1$ en el que es una representación pseudoreal. en realidad, $j$ actúa simplemente por conjugación compleja de todas las coordenadas del vector en una base adecuada. Entonces para $j^2=1$ , el primer caso, se puede imponer $j(v)=v$ como condición extra y el vector se vuelve real. Este mapa de estructura $j$ es genial entender, por ejemplo, que el producto tensorial de dos representantes pseudoreales es cosas reales y similares. Para el $(j_L,j_R)$ , el mapa de estructura obviamente existe: intercambia $j_L$ y $j_R$ y coeficientes conjugados complejos, entonces se puede comprobar que conmuta con el grupo.
De lo contrario, estoy usando terminología estándar: todos los términos como "representación fundamental" son estándar y se explican por sí mismos. Si quieres que me disculpe por haber usado estas palabras, no lo haré. Deberías aprenderlos mejor porque probablemente te estás perdiendo mucha esencia y no solo las palabras. Una representación fundamental es una representación tal que todas las irrepeticiones se pueden encontrar como partes de los productos tensoriales de la(s) representación(es) fundamental(es) consigo misma(s).
Finalmente, todos los isomorfismos pueden traducirse a isomorfismos de grupos de Lie si se usan cocientes por grupos discretos apropiados. Además, permítanme decir que esta cantidad de trabajo es mucho para 1 punto de reputación, alrededor de 2 órdenes de magnitud demasiado trabajo, por lo que he terminado con este hilo.
(He aceptado su respuesta. Gracias por la ayuda). Creo que la confusión sobre el término "realidad" no es injustificada, ya que creo que a menudo la gente lo usa para referirse a la condición de Majorana. Creo que a menudo se usa indistintamente. El término "representación fundamental" es algo que nunca he encontrado en los libros de texto de matemáticas; parece ser algo peculiar de la literatura de física y en los lugares donde se define, solo se hace para denotar el (1,0,0,0 ,..) representación de sólo probablemente la serie A.
Estimado usuario, no creo que la "representación fundamental" no aparezca en la literatura matemática. Más precisamente, sé que no es verdad. Consulte, por ejemplo, la referencia en este artículo de Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_representation
Motl ¡Gracias por la referencia! Trataré de revisar el libro de Fulton y Harris de nuevo. Las últimas veces que he intentado buscar no he encontrado ninguna referencia a esto. De manera similar, en física, también se usan términos como "bi" y "tri" representación fundamental; estos también son términos que no he encontrado en ningún otro lugar.

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