Espesor de una capa esférica dimensional 3N3N3N (entropía del gas clásico)

Estoy repasando mecánica estadística y calculando la entropía de un gas clásico (es decir, partículas en una caja).

Trabajando a través del cálculo, terminamos con una integral de la forma:

$$\int^{'} d^3\mathbf{r}_1...d^3\mathbf{r}_N$$

donde N es el número de partículas y$\mathbf{r}_i \equiv \sqrt{\hbar^2/2m} (\pi/L) \mathbf{n}_i$, y$\mathbf{n}_i = (n_i^x, n_i^y, n_i^z)$es simplemente el conjunto de números cuánticos de la$i^{\text{th}}$partícula. Claramente$|\mathbf{r}_i|$tiene dimensiones de$\sqrt{\text{energy}}$

La prima en la integral denota integración sobre los puntos en un espacio dimensional 3N que satisface:

$$E - \delta E/2 \leq \sum_{i=1}^N |\mathbf{r}_i|^2 \leq E + \delta E/2$$ .

Dónde$E$es la energía total fija del sistema, y$\delta E$es una pequeña incertidumbre en la energía.

Esta restricción es claramente una capa esférica, y las notas de mi profesor dicen que el radio es$\sqrt{E}$(tiene sentido) y el grosor$\frac{1}{2} \delta E/\sqrt{E}$. Luego procede como de costumbre calculando la integral, etc.

Mi pregunta es, ¿por qué el grosor$\frac{1}{2} \delta E/\sqrt{E}$?

Sé que esta pregunta está en el límite del absurdo, pero no estoy seguro de lo que está pasando aquí.