Motivación física para la diferenciación bajo la integral.

Supongo que un ejemplo simple sería la derivación de la ecuación de continuidad.

Primero será útil definir la densidad de probabilidad del espacio de fase, denotada por$f=f(q_1,\dots,q_{N},p_1,\dots,p_{N},t) \equiv f(\mathbf{x},t)$, que nos dice la probabilidad de encontrar un sistema cerca$(q_1,\dots,q_{N},p_1,\dots,p_{N})$a la vez$t$. Por lo tanto:

$$\begin{equation} \mathrm{d}N = f(\mathbf{x},t) \; \mathrm{d}x \end{equation}$$ relaciona los elementos de volumen del espacio de fase con el número de partículas $N$en ese volumen. En otras palabras, $f$es el número de elementos de volumen que ocupan el volumen del espacio de fase diferencial $\mathrm{d}x$y: $$\begin{equation} N = \int \mathrm{d}x \; f(\mathbf{x},t) \end{equation}$$ da el número de partículas en el conjunto.

Ahora, recuerda que el flujo a través de una superficie viene dado por:

$$\begin{equation} j = \int f \mathbf{v} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \end{equation}$$ dónde $\mathbf{v}$denota la velocidad de flujo de las partículas. Posteriormente, utilizando el $N$-teorema de la divergencia dimensional, el flujo total de un volumen $V$delimitada por $\partial V$es dado por: $$\begin{equation} \oint_{\partial V} f \mathbf{v} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} = \int_V \mathbf{\nabla}_{\mathbf{x}} \cdot \left( f \mathbf{v} \right) \; \mathrm{d}x \end{equation}$$ dónde $\mathbf{\nabla}_{\mathbf{x}}$es el $2N$gradiente dimensional en el espacio de fase: $$\begin{equation} \mathbf{\nabla}_{\mathbf{x}} = \left(\frac{\partial}{\partial q_1}, \dots , \frac{\partial}{\partial q_{N}},\frac{\partial}{\partial p_1}, \dots , \frac{\partial}{\partial p_{N}} \right) \end{equation}$$ Por otro lado, usando la regla de diferenciación bajo el signo integral, podemos escribir la tasa de disminución de partículas en el volumen como: $$\begin{equation} \frac{d N}{d t} = - \frac{d}{d t} \int_V \mathrm{d}x \; f = - \int_V \mathrm{d}x \; \frac{\partial f}{\partial t} \end{equation}$$ Por lo tanto, exigir la igualdad entre la cuarta ecuación y la sexta ecuación da (porque el flujo que sale del volumen debe ser igual a la tasa de disminución de partículas en el volumen): $$\begin{equation} \int_V \mathbf{\nabla}_{\mathbf{x}} \cdot \left( f \mathbf{v} \right) \; \mathrm{d}x = - \int_V \mathrm{d}x \; \frac{\partial f}{\partial t} \end{equation}$$ que es la ecuación de continuidad.

También necesitamos usar la "diferenciación bajo el signo integral" si queremos derivar la corriente de probabilidad en la mecánica cuántica. Sin embargo, no he tomado este ejemplo, porque no conozco sus antecedentes y si/cuánto conocimiento tiene de QM. También para el teorema de Ehrenfest en QM necesitamos usar esta regla.

Otro ejemplo (más matemático) cuando esto es útil es para la integración de contornos (y en particular para la fórmula integral de Cauchy).

Por ejemplo, considere algún flujo de agua en el espacio, en el que la densidad$\rho(x,t)$fluctúa en el espacio y en el tiempo. Quizás te interese saber cómo la masa dentro de un volumen fijo$V$cambia con el tiempo. La masa es igual a

$$M(t)=\int_V{\rho(x,t)\mathrm{d}x},$$ por lo tanto, la "tasa de flujo másico", usando la regla que mencionó, es igual a $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}M(t)=\int_V \partial_t\rho(x,t)\mathrm{d}x.$$
Otros ejemplos incluyen densidades de energía, probabilidad, impulso o estado en lugar de densidad de masa.