Diferentes valores para la misma integral calculada a través de la integración del contorno

Quizás esta pregunta debería hacerse en la comunidad matemática, pero creo que, debido al ejemplo específico que citaré, podría obtener una mejor comprensión de mi duda aquí.

Entonces, ¿por qué podemos obtener dos resultados diferentes (matemáticamente) según elegimos sortear o contornear un polo al calcular una integral? El ejemplo más obvio es la prescripción de Feynman sobre QFT y cálculos relacionados.

Sé que la mayoría de las integrales para las que son útiles las técnicas de integración de contornos no existen y, en estos casos, lo que hacemos es 'solo' una forma de darles un significado cuantitativo (llámelo el valor principal de Cauchy, si lo desea), sin embargo, todavía no puedo entender de manera intuitiva o formal qué causa la diferencia en los valores calculados a partir de diferentes opciones de contorno.

¿ Sería Matemáticas un mejor hogar para esta pregunta?
@Qmechanic Se puede migrar allí, por mí (no sé si tengo que hacer algo para que se haga).
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Respuestas (1)

Esto es simplemente una consecuencia del Teorema de Cauchy Goursat y del Teorema del Residuo : el primero te dice que una integral es invariante bajo una homotopía de un contorno a menos que la región entre un contorno y su imagen homotópica incluya una nueva singularidad; el segundo te dice que la integral cambia por 2 π i veces el residuo de cualquier polo nuevo que se incluya bajo una homotopía siempre que el contorno no contenga puntos de ramificación o cortes de rama transversal.

El caso intermedio, que lleva al valor principal de Cauchy, es donde el contorno pasa exactamente por el polo; este comportamiento se puede entender "marcando" el contorno hacia adentro con una marca semicircular de radio ϵ para evitar el polo y luego evaluando el límite del cálculo explícito del contorno en este semicírculo como ϵ → 0 .

En cuanto al significado físico de todas estas variaciones, uno tiene que mirar en detalle los supuestos físicos que subyacen a las operaciones caso por caso para determinar este significado.

Sí, estoy familiarizado con el método en sí (es decir, para encontrar un contorno adecuado para, después de usar el teorema del residuo, comparar la integral sobre el intervalo interesante con los restantes) pero aún no puedo entender por qué el resultado considerando un El contorno que incluye (dentro de la región) es diferente del que evita la sigularidad por la que pasaría el contorno ya que el significado matemático del valor principal es simplemente la integral evaluada en un intervalo límite simétrico (que debe ser independiente del procedimiento operativo - como puedo ver). ¡Gracias por la respuesta!
Diferentes valores para la misma integral calculada a través de la integración del contorno
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