¿Cómo establecer la integral de línea del campo eléctrico? Confundido sobre la notación

Question

¿Cómo establecer la integral de línea del campo eléctrico? Confundido sobre la notación

JDoeDoe

En cálculo multivariable, las integrales de línea se parametrizaban y denotaban:

\int_{C} F ∙ d r = \int_{D} F (r (t)) ∙ \frac{d r (t)}{d t} d t

$\int_C \mathbf{F} \bullet \, d\mathbf{r}=\int_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \bullet \frac{d \mathbf{r}(t)}{dt} \, dt$ Sin embargo, en electromagnetismo, las integrales de línea son confusas. El campo eléctrico:

mi (r (t)) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{pag a t h} \frac{λ (r^{'})}{| r - r^{'} |^{2}} \frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |} d {yo}^{'}

$\mathbf{E}(\mathbf{r}(t))=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_{path} \frac{\lambda(\mathbf{r}')}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r'} \rvert^2} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r'} \rvert} \, dl'$

r

$\mathbf{r}$ = punto de campo y

r^{'}

$\mathbf{r'}$ = punto de origen de la carga.

¿Cuál es la diferencia entre estas dos integrales? ¿Es la segunda una integral de línea a lo largo de un campo vectorial?

En matemáticas el procedimiento fue; parametrizar la curva, tomar la derivada de ella, salpicarla con el campo parametrizado.

¿Se debe parametrizar el campo eléctrico o no?

También tengo problemas para configurar el elemento de línea diferencial $dl'$ . Qué es $d\mathbf{r}$ equivalente a en la segunda integral?

Respuestas (1)

¿Cómo establecer la integral de línea del campo eléctrico? Confundido sobre la notación

Bence Racskó · Answer 1

Bence Racskó

$dl'$ es equivalente a " $d|\mathbf{r}|$ ", es esencialmente una "medida de longitud escalar".

La integral de electrodinámica que escribiste aquí es una integral de valor vectorial, por lo que no se producen puntos. Si utiliza un sistema de coordenadas lineales, puede evaluarse como tres integrales de línea escalares, una para cada coordenada. Las integrales con valores vectoriales no se pueden evaluar realmente usando un sistema de coordenadas curvo.

Su integral debe evaluarse de la siguiente manera: $\mathbf{r}'$ en realidad es una curva $\mathbf{r}'(t)$ (No voy a usar ' como notación para derivadas), y su integral es

mi (r) = k \int_{γ} \frac{λ (r^{'} (t))}{| r - r^{'} (t) |^{2}} \frac{r - r^{'} (t)}{| r - r^{'} (t) |} | \frac{d r^{'} (t)}{d t} | d t .

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\kappa\int_\gamma\frac{\lambda(\mathbf{r}'(t))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(t)|^2}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(t)|}\left|\frac{d\mathbf{r}'(t)}{dt}\right|dt.$

Tenga en cuenta que si bien no conozco el contexto completo, de la forma de la integral puedo inferir que solo $\mathbf{r}'$ está parametrizado por $t$ . Estás preguntando el valor de $\mathbf{E}$ en un solo punto ( $\mathbf{r}$ ), y este valor viene dado por la integración de $\mathbf{r}'$ variable sobre una curva.

Editar: para responder a su comentario, tiene casi razón.

Ahora que conozco el caso completo, también necesita parametrizar el $\mathbf{r}$ variable, pero sólo porque usted está interesado en los valores de $E$ únicamente en el $z$ eje !

Calculemos las cantidades vectoriales relevantes:

r = r (z) = z {mi}_{z}

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(z)=z\mathbf{e}_z$ (Estoy usando el genérico

z

$z$ como parámetro en lugar de

b

$b$ , ya que creo que así es más claro.)

r^{'} (t) = a porque (t) {mi}_{X} + a pecado (t) {mi}_{y},

$\mathbf{r}'(t)=a\cos(t)\mathbf{e}_x+a\sin(t)\mathbf{e}_y,$

r (z) - r^{'} (t) = - a porque (t) {mi}_{X} - a pecado (t) {mi}_{y} + z {mi}_{z},

$\mathbf{r}(z)-\mathbf{r}'(t)=-a\cos(t)\mathbf{e}_x-a\sin(t)\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z,$

| r (z) - r^{'} (t) |^{2} = a^{2} + z^{2},

$|\mathbf{r}(z)-\mathbf{r}'(t)|^2=a^2+z^2,$

\frac{d r^{'} (t)}{d t} = - a pecado (t) {mi}_{X} + a porque (t) {mi}_{y},

$\frac{d\mathbf{r}'(t)}{dt}=-a\sin(t)\mathbf{e}_x+a\cos(t)\mathbf{e}_y,$

| \frac{d r^{'} (t)}{d t} | = a .

$\left|\frac{d\mathbf{r}'(t)}{dt}\right|=a.$

Ahora la integral es (ya que $\lambda$ es constante)

mi (r (z)) = \frac{λ}{4 π ϵ_{0}} \int_{γ} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} (- \frac{a porque (t)}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}} {mi}_{X} - \frac{a pecado (t)}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}} {mi}_{y} + \frac{z}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}} {mi}_{z}) a d t = \frac{λ}{4 π ϵ_{0}} \frac{a}{(a^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \int_{0}^{2 π} z d t {mi}_{z} = \frac{λ}{2 ϵ_{0}} \frac{a z}{(a^{2} + z^{2})^{3 / 2}} {mi}_{z},

$\mathbf{E}(\mathbf{r}(z))=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_\gamma\frac{1}{a^2+z^2}\left(-\frac{a\cos(t)}{\sqrt{a^2+z^2}}\mathbf{e}_x-\frac{a\sin(t)}{\sqrt{a^2+z^2}}\mathbf{e}_y+\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}\mathbf{e}_z\right)a\ dt=\\\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{(a^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}z\ dt\mathbf{e}_z=\frac{\lambda}{2\epsilon_0}\frac{az}{(a^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{e}_z,$ donde el

e_{x}

$\mathbf{e}_x$ y

e_{y}

$\mathbf{e}_y$ Las integrales se anulan porque

\sin (t)

$\sin(t)$ y

\cos (t)

$\cos(t)$ se integran en su período completo.

JDoeDoe

¡Muchas gracias! no debería

r

$\mathbf{r}$ ser parametrizado (una función de

t

$t$ ), es decir

r = r (t)

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ ?

JDoeDoe

Tuve un problema con esta pregunta: una densidad de carga de línea uniforme

λ

$\lambda$ forma un círculo de radio

a

$a$ en el

x y

$xy$ -avión (

z = 0

$z = 0$ ), con el centro en el origen. Encuentre el campo eléctrico en el punto

(0, 0, b)

$(0,0,b)$ . Solución: (

r^{'} (t))

$\mathbf{r'}(t))$ es el punto de origen, no el derivado) Realmente no sé por dónde empezar. ¿La curva es la misma que el punto de origen?

r^{'} (t)

$\mathbf{r'}(t)$ ? ¿Debo parametrizar el círculo en el

x y

$xy$ -¿avión? Si

x^{2} + y^{2} = a^{2}

$x^2+y^2=a^2$ , dejar

x (t) = \cos t, y (t) = \sin t, t \to [0, 2 π]

$x(t)=\cos t , y(t)=\sin t, t\to[0,2\pi]$ .

JDoeDoe

Los vectores de posición están (parametrizados)

r (t) = b \hat{z}

$\mathbf{r}(t)=b{\mathbf{\hat{z}}}$

r^{'} (t) = a (porque t \hat{X} + pecado t \hat{y})

$\mathbf{r'}(t)=a(\cos t \,{\mathbf{\hat{x}}} +\sin t \, {\mathbf{\hat{y}}})$

r (t) - r^{'} (t) = b \hat{z} - a (porque t \hat{z} + pecado t \hat{y})

$\mathbf{r}(t)-\mathbf{r'}(t)= b{\mathbf{\hat{z}}} - a(\cos t \,{\mathbf{\hat{z}}}+\sin t \, {\mathbf{\hat{y}}})$ ¿Es esto correcto? Estoy un poco perdido aquí.

Bence Racskó

@JDoeDoe Edité mi publicación.

JDoeDoe

¡Gracias, realmente lo aprecio! :) Para la densidad de carga superficial, ¿es esto correcto (en términos de parámetros y excluyendo la parametrización de

r

$\mathbf{r}$ )

mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \iint_{S} \frac{σ (r^{'} (s, t))}{| r - r^{'} (s, t) |^{2}} \frac{r - r^{'} (s, t)}{| r - r^{'} (s, t) |} | \frac{\partial r^{'} (s, t)}{\partial s} \times \frac{\partial r^{'} (s, t)}{\partial t} | d s d t

$\mathbf{E(r)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{S} \frac{\sigma(\mathbf{r}'(s,t))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(s,t)|^2} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'(s,t)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(s,t)|} \biggl \lvert\frac{\partial\mathbf{r}'(s,t)}{\partial s} \times \frac{\partial\mathbf{r}'(s,t)}{\partial t} \biggl \rvert \, ds \, dt$

JDoeDoe

¿Y para la densidad de carga volumétrica?

u, v, w

$u, v, w$ son parámetros.

mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} ∭_{V} \frac{ρ (r^{'} (tu, v, w))}{| r - r^{'} (tu, v, w) |^{2}} \frac{r - r^{'} (tu, v, w)}{| r - r^{'} (tu, v, w) |} | algo | d tu d tu d w

$\mathbf{E(r)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r}'(u,v,w))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(u,v,w)|^2} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'(u,v,w)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(u,v,w)|} \lvert \textit{something} \rvert \, du \, du \, dw$

Bence Racskó

@JDoeDoe Sí, es correcto, siempre que

| something |

$|\text{something}|$ es el determinante jacobiano.

JDoeDoe

¡Excelente! Para un vector de posición multivariable no

r^{'} (u, v, w)

$\mathbf{r'}(u,v,w)$ implicar:

r^{'} (tu, v, w) = X^{'} (tu, v, w) {\hat{mi}}_{X} + y^{'} (tu, v, w) {\hat{mi}}_{y} + z^{'} (tu, v, w) {\hat{mi}}_{z}

$\mathbf{r'}(u,v,w)=x'(u,v,w)\mathbf{\hat{e}}_x+y'(u,v,w)\mathbf{\hat{e}}_y+z'(u,v,w)\mathbf{\hat{e}}_z$ ? Si es cierto, el determinante jacobiano (integral de volumen) es

\frac{\partial (X, y, z)}{\partial (tu, v, w)}

$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$ Sin embargo, para la integral de superficie con

r^{'} (s, t) = x^{'} (s, t) {\hat{e}}_{x} + y^{'} (s, t) {\hat{e}}_{y} + z^{'} (s, t) {\hat{e}}_{z}

$\mathbf{r'}(s,t)=x'(s,t)\mathbf{\hat{e}}_x+y'(s,t){\mathbf{\hat{e}}_y}+z'(s,t){\mathbf{\hat{e}}_z}$ , el jacobiano det.

\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)}

$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t)}$ no tiene sentido....?

Bence Racskó

@JDoeDoe Su fórmula era correcta para la integral de superficie, solo dije que el "algo" en su integral de volumen era el jacobiano.

Físico137

@JDoeDoe No hay determinante jacobiano en la integral de superficie. Solo existe el área de contribución de los parámetros.

s

$s$ y

t

$t$ ya especificado por su fórmula como ese producto cruzado. Es decir:

| \frac{\partial r^{'}}{\partial s} \times \frac{\partial r^{'}}{\partial t} | d s d t

$\left|\frac{\partial\mathbb r'}{\partial s}\times\frac{\partial\mathbb r'}{\partial t}\right|dsdt$

JDoeDoe

Debería

| \frac{\partial r^{'} (s, t)}{\partial s} \times \frac{\partial r^{'} (s, t)}{\partial t} | d s d t

$\big \lvert\frac{\partial\mathbf{r}'(s,t)}{\partial s} \times \frac{\partial\mathbf{r}'(s,t)}{\partial t} \big \rvert \, ds \, dt$ trabajar en 3D (si

r = x {\hat{e}}_{x} + y {\hat{e}}_{y} + z {\hat{e}}_{z}

$\mathbf{r}=x\mathbf{\hat{e}}_x+y\mathbf{\hat{e}}_y+z\mathbf{\hat{e}}_z$ )? Probé un problema con una superficie esférica, radio

R

$R$ , y con una densidad de carga superficial uniforme

σ

$\sigma$ . ''Encuentra el campo eléctrico a distancia

a

$a$ a lo largo de

z

$z$ -eje". La parametrización:

r = a {\hat{mi}}_{z}

$\mathbf{r}=a\mathbf{\hat{e}}_z$

JDoeDoe

r^{'} (R, θ, ϕ) = R pecado θ porque ϕ {\hat{mi}}_{X} + R pecado θ pecado ϕ {\hat{mi}}_{y} + R porque θ {\hat{mi}}_{z}

$\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)=R\sin \theta\cos\phi\mathbf{\hat{e}}_x+R\sin \theta\sin\phi\mathbf{\hat{e}}_y+R\cos \theta\mathbf{\hat{e}}_z$

\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d R} = pecado θ porque ϕ {\hat{mi}}_{X} + pecado θ pecado ϕ {\hat{mi}}_{y} + porque θ {\hat{mi}}_{z}

$\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{dR}=\sin\theta\cos\phi\mathbf{\hat{e}}_x+\sin\theta\sin\phi\mathbf{\hat{e}}_y+\cos\theta\mathbf{\hat{e}}_z$

\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d θ} = R porque θ porque ϕ {\hat{mi}}_{X} + R porque θ pecado ϕ {\hat{mi}}_{y} - R pecado θ {\hat{mi}}_{z}

$\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\theta}=R\cos\theta\cos\phi\mathbf{\hat{e}}_x+R\cos\theta\sin\phi\mathbf{\hat{e}}_y-R\sin\theta\mathbf{\hat{e}}_z$

\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d R} \times \frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d θ} = - R pecado ϕ {\hat{mi}}_{X} + R porque ϕ {\hat{mi}}_{y}

$\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{dR} \times \frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\theta}=-R\sin\phi\mathbf{\hat{e}}_x+R\cos \phi\mathbf{\hat{e}}_y$

JDoeDoe

| \frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d R} \times \frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d θ} | = R

$\biggl \lvert\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{dR} \times \frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\theta} \biggl \rvert=R$ Puedo publicar todo el problema, sin embargo, ¿no debería funcionar la parametrización integral de la superficie en 3D? @Físico137

JDoeDoe

Solo para probar:

\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d ϕ} = - R pecado θ pecado ϕ {\hat{mi}}_{X} + R pecado θ porque ϕ {\hat{mi}}_{y}

$\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\phi}=-R\sin\theta\sin\phi\mathbf{\hat{e}}_x+R\sin\theta\cos\phi\mathbf{\hat{e}}_y$

(\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d R} \times \frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d θ}) \times (\frac{d r^{'} (R, θ, ϕ)}{d ϕ}) = 0

$(\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{dR} \times \frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\theta}) \times (\frac{d\mathbf{r'}(R,\theta,\phi)}{d\phi})=\mathbf{0}$ @Uldreth

Físico137

@JDoeDoe, usaste

R

$R$ como parámetro. Que no es.

R

$R$ es una constante, porque como dijiste, es una superficie esférica. Si

R

$R$ fuera un parámetro, sería una bola, un espacio volumétrico, no una superficie. Y no se puede calcular una integral de superficie a partir de un espacio volumétrico... Por lo tanto, solo hay

r (θ, ϕ)

$\mathbf r(\theta, \phi)$ en tu ejemplo Y luego, solo un producto cruzado. Sus preguntas parecen ser de origen matemático, sobre la evaluación de integrales de superficie y volumen. Quizás deberías probar Math SE . =). Y sí, ese producto cruzado funciona con superficies dentro del espacio 3D.

JDoeDoe

@ Physicist137 ¡Gracias, lo tengo ahora! Pensé que una parametrización esférica era

r = r (R, θ, ϕ)

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(R,\theta,\phi)$ , pero cierto, una superficie tiene solo dos parámetros.

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