Suma a una integral al derivar el teorema de equipartición

Question

Suma a una integral al derivar el teorema de equipartición

Física
integración
espacio de fase
función de partición
mecánica estadística

S.Rotos

Estoy leyendo esta derivación del teorema de equipartición para gases ideales. En la segunda página se menciona que la partición funciona como una simple suma,

Z = \sum_{i} {mi}^{- ε_{i} / k T}

$Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}$

no es adecuado para describir un gas clásico ya que la distribución de energías no es discreta, sino continua. En cambio, se necesita una integral donde

{mi}^{- ε / k T}

$e^{-\varepsilon/kT}$

se integra sobre posiciones y momentos de los cuales la energía es función. Pero, ¿por qué es correcta esta conversión de una suma a una integral?

Puedo entender por qué se necesita una integral, ya que la distribución de energías es continua. Pero, ¿por qué es correcto simplemente integrar la función exponencial para obtener la suma? ¿No nos da la integral el área bajo la curva de la función exponencial, es decir (hablando quizás sin rigor), la suma de los valores de la función en diferentes puntos, multiplicada por las diferenciales $dx$ , en lugar de la simple suma de los valores? También he visto este tipo de cosas en otros lugares, y me molesta.

usuario65081

Una integral es también el límite de un número infinito de términos infinitesimales

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Suma a una integral al derivar el teorema de equipartición

Una integral es también el límite de un número infinito de términos infinitesimales

Andrés Steane · Answer 1

Cada vez que una suma va a una integral en el límite continuo, debe tener en cuenta el problema que plantea esta pregunta. En caso de duda, proceda en dos pasos, como se indica a continuación.

Primero escriba la suma con un 'algo delta' explícito para indicar el cambio en el índice que se está sumando. En el presente ejemplo:

Z = \sum_{i} {mi}^{- ϵ_{i} / k T} d i

$\begin{equation} Z = \sum_i e^{-\epsilon_i/kT} \delta i \end{equation}$

El valor de este $\delta i$ es 1 en esta suma.

A continuación, reemplace $\delta i$ por el producto de una densidad de algo y un cambio en ese algo. En el presente ejemplo, debe preguntar, "¿cuántos estados hay por unidad de rango de $x,y,z$ y $p_x, p_y, p_z$ ? La respuesta es un estado por volumen. $h^3$ del espacio de fase. El valor $\delta i = 1$ representa el conteo en $Z$ aumentando en 1 estado, por lo que la relación es

d i = d X d y d z d {pag}_{X} d {pag}_{y} d {pag}_{z} / h^{3}

$\begin{equation} \delta i = \delta x \delta y \delta z \delta p_x \delta p_y \delta p_z / h^3 \end{equation}$

que nos da

Z = \sum_{i} {mi}^{- ϵ_{i} / k T} d X d y d z d {pag}_{X} d {pag}_{y} d {pag}_{z} / h^{3}

$\begin{equation} Z = \sum_i e^{-\epsilon_i/kT} \delta x \delta y \delta z \delta p_x \delta p_y \delta p_z / h^3 \end{equation}$

Ahora se puede tomar el límite continuo:

Z = \int {mi}^{- ϵ_{i} / k T} d X d y d z d {pag}_{X} d {pag}_{y} d {pag}_{z} / h^{3}

$\begin{equation} Z = \int e^{-\epsilon_i/kT} dx dy dz\, dp_x dp_y dp_z / h^3 \end{equation}$

donde el signo integral es una forma abreviada de seis integrales en este ejemplo.

Eso es todo. Para repetir: este problema surge cada vez que una suma va a una integral; no es una característica especial de la teoría cinética o de la mecánica estadística. Supongo que algunos escritores de libros de texto simplemente lo asumen como un aspecto conocido de esta área de las matemáticas.

¡Muy bien, esto tiene sentido! Entonces, ¿era realmente una cuestión de normalización adecuada? Sin embargo, la derivación en el enlace que proporcioné parece omitir este factor de $1/h^3$ . Si sumamos este factor, ¿la derivación continuaría como antes y nos dejaría con la energía promedio de $1/h^3*1/2kT$ ?
Puede responder a su propia pregunta ingresando el factor y luego seguir el resto de la derivación y ver qué sucede. Verás que en el enlace que diste, letras como $x$ y $p$ se utilizan para cantidades adimensionales y factores de $h$ se han incorporado a la constante $c$ en la fórmula energética sin comentarios. Le recomendaría consultar un libro de texto en lugar de recursos web, si tiene acceso a uno. Los libros tienden a escribirse con más cuidado, con atención a los detalles.

Ján Lalinský · Answer 2

Pero, ¿por qué es correcta esta conversión de una suma a una integral?

No hay conversión. La función de partición se define como integral en la física estadística clásica, porque los estados posibles forman un conjunto continuo y es la definición más natural.

En la física estadística pseudocuántica (o cuántica antigua), "estado" en la función de partición significa algo diferente (una tupla de todos los números cuánticos que definen el estado cuántico preferido, como nx,ny,nz para el oscilador armónico 3D que define la función propia hamiltoniana, o números de ocupación de todos los sitios de partículas) y todos esos estados posibles forman un conjunto discreto, por lo que la definición más natural es una suma.

Suma a una integral al derivar el teorema de equipartición

S.Rotos

usuario65081

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Andrés Steane

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