¿Escribir pruebas cortas en línea es una mala forma?

Estoy escribiendo un artículo en TeX en este momento y me gustaría pedir una prueba de cordura sobre la forma adecuada.

En el artículo, hay algunos enunciados que parecen demasiado simples para llamarlos Proposición o Lema, y ​​mucho menos Teorema. Utilizo la palabra Observación para aquellos. Sin embargo, en términos generales, hay tres tipos de comentarios:

  1. Aquellas cuyas pruebas son bastante fáciles o estándar, pero no completamente triviales, por lo que presento un breve argumento después, usando el proofentorno estándar.
  2. Los que creo que son completamente obvios en contexto, por ejemplo, simplemente resumen alguna exposición directamente arriba, así que simplemente pongo un signo qed al final (a veces hago lo mismo con Corolarios).
  3. Los que tienen una prueba muy simple, que puede no ser del todo obvio a simple vista, pero creo que una explicación mínima (digamos, una oración corta) es suficiente. En este caso, poner la breve explicación en el proofentorno parece ser una pérdida de espacio y hace que todo parezca demasiado importante. En su lugar, solo pongo la breve explicación en un comentario entre paréntesis, que agrego al cuerpo del comentario, y lo sigo con el signo qed.

Este sistema me parece lógico, pero me gustaría alguna confirmación de que está bien, particularmente el último tipo.

También me interesarían las alternativas, con sus pros y sus contras (es poco probable que cambie el estilo de este artículo a menos que esté convencido de que hay un gran problema, pero puedo intentar hacer algo mejor en el próximo).

No creo que haya una respuesta general a esto. Simplemente escriba el documento y discuta el borrador con su asesor; él / ella es la persona adecuada para esto.
En realidad, estoy coescribiendo el artículo con él, por lo que lo volverá a leer y escribir de todos modos. Mi estilo evoluciona, pero creo que escribí más o menos así antes y no recuerdo que se quejara (excepto tal vez sobre mi juicio sobre lo que es o no es obvio). Lo que estoy buscando aquí es una muestra más grande. ;-)
¿Podría aclarar si le preocupa principalmente el espacio vertical, la sangría o la confusión sobre cuánto dejar al lector frente a cuánto deletrear? Además, ¿puedes decir todavía si es probable que haya poco espacio?
@aparente001: No me preocupa la confusión sobre cuánto deletrear. Ese es un tema aparte que realmente no quiero discutir aquí. Solo me preocupa la forma, pero en lo que respecta, no estoy seguro de qué partes (espacio vertical, sangría, etc.) creo que son las peores. Si está sugiriendo un entorno de prueba "conciso" separado (como parece ser), esa es una idea interesante, pero me pregunto si no será confuso para el lector. Supongo que eso vale una pregunta aparte. En cuanto a la falta de espacio, no espero ningún límite estricto, pero es probable que el documento sea largo de todos modos, así que...
¡No estaba ni cerca de hacer una sugerencia! El único artículo matemático que he escrito nunca tenía teoremas, y solo una docena de ecuaciones como máximo. En este punto quería entender mejor su pregunta... Entonces, ¿qué es lo principal que le molesta de tratar a estos menores de la misma manera que a los mayores?
Caso 1 parecen Corolarios; el Caso 2 parece Hechos; y el Caso 3 parecen Lemas (si son bloques de construcción) o Proposiciones (si son resultados útiles por sí mismos). La observación no parece capturar ningún resultado matemático riguroso.

Respuestas (3)

Tal vez esto esté "basado en opiniones", pero esto es lo que prefiero, y creo que es bastante estándar.

Solo usaría el cuadro QED 🞎 al final de un entorno de prueba (que comenzó con Demostración ) que está precedido por un Teorema / Proposición / Lema / Corolario numerados, etc. De esa manera, hay una declaración clara de lo que se está demostrando, y el enunciado se distingue claramente de la prueba. Subconscientemente, pienso en Prueba y 🞎 como delimitadores coincidentes.

No creo que "demasiado simple" sea la consideración principal para usar Proposition o Remark. Más bien, creo que la observación debe usarse solo para declaraciones o discusiones que son una digresión del argumento principal del artículo. Si tiene una declaración que es importante para el artículo, incluso si la prueba es muy simple, conviértala en una proposición, un lema o un corolario (con un número) y siga con una prueba . (Es posible que pueda salirse con la suya diciendo algo como "tenemos la siguiente proposición cuya prueba es obvia" y luego omitir el entorno de prueba, pero esto puede ser molesto).

En una observación, si se trata de una afirmación en particular, puede incluir una breve demostración, un boceto o un esquema. En general, esto se escribiría en la prosa del párrafo y no se destacaría como una prueba separada, y no usaría el símbolo QED aquí.

Observación. El resultado anterior plantea la pregunta de si todo snark es un boojum. De hecho, la respuesta es sí, y esto se puede ver observando que el queso es verde y el cielo es malva. Sin embargo, aún no se sabe si cada boojum es un snark.

Esta sería una alternativa a:

Proposición 6.37. Cada gruñido es un boojum.

Prueba. El queso es verde y el cielo es malva. 🞎

Es decir, poner un signo qed al final de una declaración, creo que he leído (y visto) en algunos lugares que es la forma estándar de decir "esto debería ser obvio". Sobre el uso de la palabra Proposición en lugar de Observación (sin numerar), creo que he contemplado ese estilo antes, pero encontré algún problema cuando necesitaba referirme a alguna discusión informal y referirme a ellos indirectamente (como en "razonando de manera análoga a la uno esbozado en el párrafo anterior al teorema X") parecía ser una forma decisivamente mala por varias razones. Entonces, ¿cómo propones que me ocupe de eso?
Nunca he visto el signo qed usado para significar "esto debería ser obvio" y no lo recomendaría. En cuanto a su otro comentario, en términos generales, cualquier declaración a la que pretenda referirse más adelante debe numerarse. Incluso puede numerar sus Observaciones, pero creo que si necesita volver a referirse a una Observación, podría ser lo suficientemente importante para el documento como para convertirla en una Proposición numerada.
Continuando con el primer problema, me gusta poner signos qed al final de una declaración obvia, porque cuando leo algo y no veo ninguna prueba inmediatamente después, no me queda claro si la declaración es obvia, o la prueba vendrá pronto, o algo más. Una señal QED es una señal clara. ¿ Preferirías escribir " Prueba . Obvio. 🞎"? Para mí, eso es aún más rompedor que solo un signo qed, y más pretencioso.
Mientras estoy aquí: tampoco he visto signos QED utilizados como "obvios" en la escritura matemática (buena, formal), y tampoco lo defiendo. El objetivo de un letrero QED es hacer un marcador visual claro de dónde termina un argumento (al igual que la Prueba marca claramente dónde comienza), de modo que el lector no necesite leer el papel línea por línea de principio a fin (casi nada). uno quiere leer un trabajo de matemáticas de esa manera). Si el argumento no comienza, no necesita mostrar dónde termina.
Más al punto: " Prueba : esto puede dejarse al lector". es mejor que un signo qed, porque expresa en palabras la intención del autor. Si veo un signo qed al final de una prueba no, no sé exactamente qué significa, y me pregunto si tal vez hubo un error tipográfico. La buena escritura matemática hace todo lo posible para que la estructura lógica sea clara (para que el lector pueda concentrarse en las nuevas matemáticas); exagerar esto es mucho mejor que subestimarlo.
En el segundo párrafo, me distraje un poco leyendo "Subconscientemente, pienso en Prueba y 🞎 como delimitadores coincidentes". ¿Falta algo después de "y"?
@pjs36: Hay un símbolo de cuadro entre las palabras "y" y "como", ¿lo ves en tu navegador? Quiero decir que la palabra "Prueba" y el cuadro QED actúan como delimitadores.
@NateEldredge Gracias, supuse que se refería a algún tipo de cuadro QED, pero no, no está presente para mí (incluso haciendo clic en "editar" para ver si había algo presente). Aparentemente, esta es solo la última instancia en la que mi navegador se comporta mal; Dudo que sea un problema para (m) cualquier otro.
@pjs36: Es Unicode U+1F78E CUADRADO BLANCO CLARO. ¿Tal vez una fuente o un problema de codificación?

Una observación es un espécimen matemático extraño: si lees un montón de trabajos de matemáticas, verás que diferentes personas lo usan de diferentes maneras. Con eso en mente, diría que no creo haber visto nunca "Comentario" usado de la manera en que lo hace: como un teorema especialmente pequeño.

Si un comentario debe hacerse a través de un entorno de teoremas (por lo tanto, por ejemplo, aparece en cursiva) también es un punto de discusión. Recuerdo que me rechazaron un artículo de una revista muy prestigiosa, donde aparte de "no lo suficientemente bueno para la revista", el principal comentario que recibimos fue que los comentarios no deberían estar en cursiva. Pero en realidad, el formato de los comentarios está por todas partes.

Creo que la mayoría de la gente está de acuerdo con @Nate Eldredge en que los Comentarios deberían ser "declaraciones o discusiones que son una digresión del argumento principal del artículo". Sin embargo, exactamente lo que eso significa está un poco en juego. Por ejemplo, algunas personas piensan que deberías llamar a algo una Observación si no vas a volver a mencionarla en el artículo; en otras palabras, literalmente podrías quitar la Observación del artículo sin alterar nada más. Otras (¿y más?) personas piensan que el punto de destacar algo como un comentario es para que pueda referirse a él más tarde: si realmente es completamente desechable, ¿por qué no simplemente ponerlo en línea en el texto, entre paréntesis o en un ¿nota? Creo que en mi escritura matemática he pasado del primer uso al último uso... creo.

De todos modos, fundamentalmente no creo que algo pueda ser demasiado simple para ser una Proposición o un Lema, pero aún necesita una declaración formal y una prueba. Eso es exactamente para lo que sirve la Proposición: como un Teorema, solo que más pequeño. Incluso el Lema y el Corolario tienen otros usos: un Lema viene justo antes de un resultado mayor y un Corolario justo después. El objetivo de usar estos términos es hacer que el flujo lógico del documento sea visualmente evidente. ¿Cómo el uso de "Observación" para "ni siquiera una Proposición" ayuda al lector más que "Proposición" seguido de una prueba de dos líneas?

El uso correcto de un comentario es sutil, pero es más o menos contrapuntístico a los teoremas, proposiciones, etc. En un comentario, se hace a un lado por un momento y coloca algo fuera de la secuencia lógica directa que estaba siguiendo (aunque puede llamarlo más tarde). Así, por ejemplo, las Observaciones pueden estar al final de (sub...)secciones como comentario o resumen de lo que ha venido antes.

O eso me parece, de todos modos. Nuevamente, diferentes personas hacen las cosas de manera diferente aquí.

Gracias. No estoy buscando una respuesta definitiva aquí, sino que estoy tratando de formar (o refinar) mi propia opinión (y estilo). Pero no diste (creo) una respuesta clara a mi pregunta principal: ¿qué piensas acerca de los bosquejos muy cortos de pruebas que se adjuntan al cuerpo de la observación/proposición/corolario? Mi preocupación es que ponerlos en un entorno de prueba interrumpe el flujo del papel.
@tomasz: Tal vez no tengo completamente claro lo que estás preguntando. ¿Está preguntando si es problemático tener: " Proposición: ... Prueba [argumento de una línea]"? Mi respuesta es que no es problemático en absoluto. Ni siquiera es problemático no tener líneas de prueba. Lo que no entiendo es por qué estás hablando de bocetos de pruebas. No creo que haya mucho lugar en un trabajo de matemáticas para dibujar pruebas. Si cree que son apropiados menos detalles, proporcione menos detalles, pero parece que de alguna manera desea un entorno de "prueba a medias". ¿O estoy malinterpretando?
Creo que estás malinterpretando, sí. Lo que quiero decir es que, en algunos casos, no quiero ningún entorno de prueba separado, solo una breve indicación entre paréntesis de por qué una declaración es verdadera.
¿Por qué solo quiere una "breve indicación entre paréntesis de por qué una declaración es verdadera"? Por qué algo es verdadero es una de las partes más importantes de un trabajo de matemáticas. Por lo que puedo decir, pareces estar un poco ansioso de que si das demasiados detalles en una prueba, te hará quedar mal. Ese no es realmente el caso. De todos modos, tal vez podría editar un ejemplo del tipo de cosas que tiene en mente en su pregunta.
Tienes razón en parte, ya que, de hecho, me han dicho que podría hacerme quedar mal (aunque también me han dicho lo contrario, así que supongo que eso podría estar basado en una opinión). Pero otra cosa es que creo que la separación visual podría interrumpir la comprensión, de manera similar a cómo a veces es mejor usar matemáticas en línea en lugar de estilo de visualización. Un ejemplo más simple de tal comentario "(Inmediato por el teorema X y el lema Y)". Puede que no sea obvio para el lector que debe usar el Teorema X y el Lema Y, pero una vez que lo sabe, es solo sumar dos y dos.
@tomasz: Todavía no estoy seguro de por qué crees que las pruebas de cosas deberían ir entre paréntesis. En el ejemplo que das, sugeriría: " Corolario : lo que sea. Prueba : esto se sigue del teorema X y el lema Y". Me pregunto si ha leído el texto de Stephen Krantz sobre escribir matemáticas. Denigra explícitamente las "pruebas entre paréntesis".
Estoy bastante seguro de que lo hice, pero hay muchos recursos (parcialmente contradictorios) al respecto. También podría haber adquirido algunos malos hábitos por difusión. Gracias de nuevo por el aporte, lo tendré en cuenta.

En los marcadores inmediatamente después de la declaración:

A veces, después de una serie de lemas y teoremas, es necesario escribir algunos comentarios adicionales para resaltar algunas cosas que serán útiles más adelante. Para evitar interrumpir el flujo, encontré útil poner una declaración a la que solo se pudiera hacer referencia al final de esa parte, generalmente como corolario. El problema que tuve fue que con frecuencia los párrafos anteriores incluían la prueba, pero en algunos casos la declaración era demasiado complicada y necesitaba una prueba formal por separado. Aunque esto no es estándar (todavía), para dejar claro si el lector debe esperar una prueba o no, elijo incluir un signo especial (una versión claramente más pequeña de QED) que colocaría después de las declaraciones sin un entorno de prueba.

\newrobustcmd{\xsmallsquare}{%
  \text{\fboxsep=-.2pt\fbox{\rule{0pt}{4pt}\rule{4pt}{0pt}}}%
}
\declaretheorem[name=Corollary,sibling=theorem,style=definition]{corollary}
\declaretheorem[name=Corollary,sibling=theorem,style=definition,qed=${\color{black}\xsmallsquare}$]{qedcorollary}

Por consistencia había una pequeña forma de diamante después de cada declaración para la cual no debería haber prueba, como definiciones. Se volvió muy útil para declaraciones complejas que incluían enumeraciones: dejaba muy claro dónde terminaban, mientras que la marca era lo suficientemente pequeña para evitar distracciones. Tenía el beneficio adicional para los (raros) casos en los que había un párrafo de texto entre el teorema y su prueba para explicar cómo procederá la prueba y presentar algunas intuiciones que no tendrían sentido antes de la declaración formal del teorema.

Nunca recibí comentarios negativos sobre ese estilo, y hubo algunos comentarios positivos. Además, tenga en cuenta que muchas revistas y algunas conferencias tienen pautas editoriales a las que debe ajustarse. Además, si bien esto puede verse muy bien en un trabajo más grande (libro, tesis, informe técnico largo), en un artículo corto que es parte de una colección más grande, por lo general solo distraerá.

Sobre las observaciones:

Estoy de acuerdo con @Pete L. Clark y @Nate Eldredge. Lo han dicho de manera más elocuente, así que me saltaré esa parte.

Sobre las demostraciones entre paréntesis:

Aunque me encanta usar paréntesis, le recomiendo encarecidamente que no ponga pruebas allí. Tenga en cuenta que aún podría estar bien recordarle al lector algo entre paréntesis, por ejemplo, un lema que hace que la declaración en contexto sea un corolario directo. Sin embargo, por favor no lo haga en declaraciones – casi siempre es posible mencionar ese lema inmediatamente antes o después de la declaración. Los únicos paréntesis que no son matemáticos en las declaraciones que uso son para la coincidencia de patrones como "llamaremos a una X izquierda-agradable (derecha-agradable) si Y es derecha-desagradable (izquierda-desagradable)" o teoremas de referencia "Teorema 42 (Famoso Investigador [42])."

Sobre la obviedad:

Permítanme citar una publicación realmente agradable de Joel David Hamkins en MathOverflow :

No estoy de acuerdo en que si algo es obvio, entonces es obvio que es obvio. Cuando un autor declara en una exposición matemática que un hecho es obvio, o dice "por supuesto" o algo con un significado similar, entonces es una señal de que el lector debería poder encontrar una razón muy fácil que justifique la declaración, en lugar de uno complejo Esta es información útil para que el autor señale, y yo, como lector, a menudo he estado agradecido por ello.

Además, incluir muchas afirmaciones triviales y sus pruebas hará que el documento sea ilegible. Los teoremas y sus demostraciones son algunas de las partes más importantes de un trabajo de matemáticas, pero se deben enfatizar los resultados principales en lugar de las simples observaciones que con frecuencia son parte del folclore de la comunidad.

Finalmente, debe tener mucho cuidado de que las cosas que considere obvias sean realmente obvias. En la práctica, a menudo escribo las demostraciones y solo decido no incluirlas. De esta manera, puede reducir los errores y elegir en realidad para una mayor claridad (con un pequeño sesgo útil porque uno no quiere que se desperdicie el trabajo). Lleva más tiempo, pero al menos para mí merece la pena.

Espero que esto ayude ;-)

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