Subespacio denso del espacio de funciones que se desvanece en el infinito

Question

Subespacio denso del espacio de funciones que se desvanece en el infinito

análisis
funciones
Matemáticas
análisis real
análisis funcional

Nocturno

¿Cómo puedo mostrar que el espacio de funciones suaves con soporte compacto, $C^{\infty}_K$ , es denso en el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito equipado con la norma suprema, $(C_0,|| \cdot ||_{\infty})$ ?

Ya se que el espacio de funciones continuas con soporte compacto, $C^0_K$ , es denso en $C_0$ , por lo que basta con demostrar que $C^{\infty}_K$ es denso en $C^0_K$ .

Respuestas (2)

Subespacio denso del espacio de funciones que se desvanece en el infinito

Martín Argerami · Answer 1

Asumiré que estamos hablando de funciones en la línea real. Arreglar $f\in C_0(\mathbb R)$ . El hecho de que $f$ es $C_0$ nos permite escribirlo como un límite uniforme de funciones continuas con soporte compacto $^1$ . Así que ahora podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f$ es continuo con soporte compacto.

Empezar con $h_0(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2},&\ x>0\\0,&\ x\leq0\end{cases}$ .

A continuación te das cuenta de que $h(x)=h_0(x)h_0(1-x)\in C^\infty_K$ , con apoyo en $[0,1]$ . Podemos normalizarlo para que $\int_{\mathbb R} h=1$ . Entonces, para cada $\varepsilon>0$ , usted toma

h_{ε} (X) = \frac{1}{ε} h (\frac{X}{ε})

$h_\varepsilon(x)=\frac1\varepsilon\,h\left(\frac x\varepsilon\right)$ y notas que

\int_{R} h_{ε} = \int_{R} h = 1

$\int_{\mathbb R}h_\varepsilon=\int_{\mathbb R}h=1$ .

Ahora forma las circunvoluciones

F_{ε} (X) = \int_{R} F (t) h_{ε} (X - t) d t .

$f_\varepsilon(x)=\int_{\mathbb R}f(t)\,h_\varepsilon(x-t)\,dt.$ No es difícil demostrar que porque

h_{ε} \in C^{\infty}

$h_\varepsilon\in C^\infty$ tenemos

f_{ε} \in C^{\infty}

$f_\varepsilon\in C^\infty$ ; y porqué

f

$f$ y

h_{ε}

$h_\varepsilon$ tienen soporte compacto, también

f_{ε}

$f_\varepsilon$ .

Finalmente, dado $\varepsilon>0$ , como $f$ es continua con soporte compacto, es uniformemente continua. tan dado $c>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<c$ si $|x-y|<\delta$ . Entonces

\begin{aligned} | F_{ε} (X) - F (X) | & = | \int_{R} [F (X - t) - F (X)] h_{ε} (t) d t | \leq \int_{R} | F (X - t) - F (X) | h_{ε} (t) d t \\ \leq C \int_{| t | < d} h_{ε} (t) d t + 2 ‖ F ‖_{\infty} \int_{| t | \geq d} h_{ε} (t) d t \\ = C + 2 ‖ F ‖_{\infty} \int_{| t | \geq d} h_{ε} (t) d t . \end{aligned}

$\begin{align*} |f_\varepsilon(x)-f(x)|&=\left|\int_{\mathbb R} [f(x-t)-f(x)]\,h_\varepsilon(t)\,dt\right| \leq\int_{\mathbb R} |f(x-t)-f(x)|\,h_\varepsilon(t)\,dt\\ &\leq c\,\int_{|t|<\delta} h_\varepsilon(t)\,dt +2\|f\|_\infty\,\int_{|t|\geq\delta}h_\varepsilon(t)\,dt\\ &=c +2\|f\|_\infty\,\int_{|t|\geq\delta}h_\varepsilon(t)\,dt. \end{align*}$ con

δ

$\delta$ fijo, la última integral tiende a cero como

ε \to 0

$\varepsilon\to0$ (porque el apoyo de

h_{ε}

$h_\varepsilon$ está contenido en

[0, ε]

$[0,\varepsilon]$ ). De este modo

\underset{ε \to 0}{Lim sup} | F_{ε} (X) - F (X) | \leq C

$\limsup_{\varepsilon\to0}|f_\varepsilon(x)-f(x)|\leq c$ para todos

x

$x$ y todo

c > 0

$c>0$ . Entonces

‖ f_{ε} - f ‖_{\infty} \to 0

$\|f_\varepsilon-f\|_\infty\to0$ .

Arreglar $f\in C_0(\mathbb R)$ . Para cada $n\in\mathbb N$ existe $N>0$ con $|f(x)|<\tfrac1n$ cuando $|x|>N$ . Dejar $g_n$ ser continuo, con $0≤g_n≤1$ , $g_n(x)=1$ cuando $|x|≤N$ y $g_n=0$ cuando $|x|>N+1$ . Entonces $fg_n\in C_c(\mathbb R)$ y $| F - F {gramo}_{norte} | = | F (1 - {gramo}_{norte}) | < \frac{1}{norte},$ $|f-fg_n|=|f(1-g_n)|<\tfrac1n,$ entonces $fg_n\to f$ uniformemente

¿Podría explicar de dónde obtenemos que "El hecho de que $f$ es $C_0$ nos permite escribirlo como un límite uniforme de funciones continuas con soporte compacto"?
También: ¿Es posible extender su argumento a $\mathbb{R}^n$ ? Si es así, ¿podría explicar brevemente cómo hacerlo?
La extensión a $\mathbb R^n$ es completamente sencillo. Todo lo que necesita hacer es usar en su lugar $h_{norte} (X_{1}, \dots, X_{norte}) = h (X_{1}) \dots h (X_{norte}) .$ $h_n(x_1,\ldots,x_n)=h(x_1)\cdots h(x_n).$

Tsemo Aristide · Answer 2

Tsemo Aristide

Pista: usa el teorema de stone-weirstrass

Nocturno

Gracias, no había pensado en eso! Pero, ¿cómo podemos asegurarnos de que los polinomios permanezcan infinitamente diferenciables en el límite del conjunto compacto?

Tsemo Aristide

mathworld.wolfram.com/Stone-WeierstrassTheorem.html

Martín Argerami

Exacto: si

X

$X$ es cualquier espacio compacto ... ¿Cómo vas a "pegar" los extremos de tu polinomio de tu conjunto compacto para extenderlo como cero al resto de la línea? Como dije, los polinomios no tienen soporte compacto.

Tsemo Aristide

¿Quién está hablando de polinomios aquí? Si f desaparece en el infinito, considere

f_{n}

$f_n$ una función que coincide con la restricción de f a B(0,n) obtenida al multiplicar f por una función de corte

L_{n}

$L_n$ las funciones suaves con soporte compacto en B(0,n) son densas en B(0,n) por stone weirstrass ya que contiene las constantes y separa los puntos. así que tienes

g_{n}

$g_n$ en

L_{n}

$L_n$ tal que

‖ f_{n} - g_{n} ‖ < ϵ / 2

$\| f_n-g_n\|<\epsilon/2$ , tu también tienes

‖ f - g_{n} ‖ \leq ‖ f - f_{n} ‖ + ‖ f_{n} - g_{n} ‖

$\|f-g_n\|\leq \|f-f_n\|+\| f_n-g_n\|$ puedes tomar n lo suficientemente grande como para que

‖ f - f_{n} ‖ < ϵ / 2

$\| f-f_n\|<\epsilon/2$ ya que f desaparece en el infinito

Martín Argerami

Mi error con los polinomios. Todavía no veo cómo extiendes tu

g_{n}

$g_n$ a un

C^{\infty}

$C^\infty$ funcionar en todos

R

$\mathbb R$ .

Tsemo Aristide

g_{n}

$g_n$ es un elemento de

L_{n}

$L_n$ que son funciones cuyos soportes están en B(0,n) esto implica que los soportes de

g_{n}

$g_n$ está contenido en B (0, n) para que pueda extender

g_{n}

$g_n$ configurando

g_{n} (x) = 0

$g_n(x)=0$ si x está en el espacio complementario de B(0,n+1)

Subespacio denso del espacio de funciones que se desvanece en el infinito

Nocturno

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Martín Argerami

Ene

Ene

Martín Argerami

Martín Argerami

Tsemo Aristide

Nocturno

Tsemo Aristide

Martín Argerami

Tsemo Aristide

Martín Argerami

Tsemo Aristide

¿Cuál es la compactación real de la línea real?

Para funciones holomorfas, si {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f uniformemente en conjuntos compactos, entonces lo mismo es cierto para las derivadas.

¿Cuál es la relación entre los espacios de Hausdorff localmente compactos y los espacios métricos separables completos?

Encuentre una función acotada que satisfaga f(0)=0, f'(0)=0 y derivadas primera y segunda acotadas

Prueba del teorema del valor intermedio y lema que conserva el signo

¿La función continua definida en un intervalo acotado cerrado está acotada? ¿Es necesario el continuo?

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