Compacidad débil* de la bola unitaria

Question

Compacidad débil* de la bola unitaria

análisis
Matemáticas
análisis real
topología general
análisis funcional

O Empalador de Cabras

Cosas que sabemos:

En cualquier espacio topológico la compacidad implica compacidad secuencial
Si E es cualquier espacio topológico, entonces la bola unitaria cerrada $B_{mi} = {F \in {mi}^{*}; ‖ F ‖ \leq 1}$ $B_E=\{f\in E^*; \|f\|\leq 1\}$ es compacto en la topología débil*.

Ahora un ejemplo de Brezis Book : Let $E=l^{\infty}$ y su doble $E^*\supset l^1$ . Ahora considere la secuencia $(f_n)\subset l^1\subset E^*$ dónde

F_{norte} = (0, \dots, 0, 1, 0 \dots)

$f_n=(0, \ldots,0,1,0\ldots)$

Afirmar.: $(f_n)$ no tiene una subsecuencia convergente en la topología débil*

Argumentando por contradicción, supongamos que hay una subsecuencia convergente $f_{n_k}$ convergiendo a $f$ . Así que debemos tener para cualquier $x\in l^{\infty}$ eso

⟨ F_{{norte}_{k}}, X ⟩ \to ⟨ F, X ⟩

$\left<f_{n_k},x\right>\to \left<f,x\right>$

Por otro lado elige $x_0$ de la siguiente manera

X = (0, 0, \dots, \underset{{norte}_{1}}{\underset{⏟}{1}}, 0, 0 \dots, 0, \underset{{norte}_{2}}{\underset{⏟}{- 1}}, 0, 0, \dots, \underset{{norte}_{3}}{\underset{⏟}{1}}, 0, \dots, 0, \underset{{norte}_{4}}{\underset{⏟}{- 1}}, \dots)

$x=(0,0,\ldots,\underbrace{1}_{n_1}, 0,0\ldots,0,\underbrace{-1}_{n_2},0,0,\ldots,\underbrace{1}_{n_3},0,\ldots,0,\underbrace{-1}_{n_4}, \ldots)$ entonces

⟨ F_{{norte}_{k}}, X ⟩ = (- 1)^{k}

$\left<f_{n_k},x\right>=(-1)^k$ que no converge, ¡contradicción! Entonces

(f_{n})

$(f_n)$ no tiene una subsecuencia convergente en la topología débil*

MI PREGUNTA : ¿Cómo este ejemplo no contradice los resultados? $1$ y $2$ , Quiero decir, $\|f_n\|=1$ para todos $n$ , y $(f_n)$ no tiene una subsecuencia convergente en la topología débil*. Por otro lado $B_E=\{f\in E^*; \|f\|\leq 1\}$ es compacto en la topología débil*, lo que significa en particular, secuencialmente compacto.

ADENDA: compacidad implica compacidad secuencial

Sea X un conjunto compacto y $(x_n)$ una secuencia infinita (infinitos términos distintos), suponga lo contrario, es decir, que $(x_n)$ no tiene punto de acumulación. Entonces para cada $x\in X$ hay un relincho. $U_x$ de $x$ pero que contiene sólo un número finito de elementos de $\{x_n\}$ . La familia $\{U_x\}$ cubrir $X$ , pasando a una subcubierta finita $\{U_1,\ldots,U_n\}$ concluimos que el conjunto de los términos de $(x_n)$ debe ser finito. ¡Contradicción!

david mitra

Compacidad no implica en general compacidad secuencial.

O Empalador de Cabras

Hay una prueba en el libro de Lang, Real and Functional Analysis, books.google.com.br/books/about/… en la página 33 que dice lo contrario

david mitra

La compacidad implica compacidad secuencial en espacios metrizables. Pero la topología débil* en

X^{*}

$X^*$ no es metrizable en general (en particular, si

X

$X$ es Banach e infinito dimensional).

david mitra

Ignora mi comentario anterior, ahora eliminado.

O Empalador de Cabras

Sea X un conjunto compacto y

(x_{n})

$(x_n)$ una sucesión infinita, supongamos lo contrario, es decir, que

(x_{n})

$(x_n)$ no tiene punto de acumulación. Entonces para cada

x \in X

$x\in X$ hay un relincho.

U_{x}

$U_x$ de

x

$x$ pero que contiene sólo un número finito de elementos de

{x_{n}}

$\{x_n\}$ . La familia

{U_{x}}

$\{U_x\}$ cubrir

X

$X$ , pasando a una subcubierta finita

{U_{1}, \dots, U_{n}}

$\{U_1,\ldots,U_n\}$ concluimos que el conjunto de los términos de

(x_{n})

$(x_n)$ debe ser finito. ¡Contradicción!

daniel pescador

Que una secuencia tenga un punto de acumulación es estrictamente más débil que que tenga una subsecuencia convergente (en general; para espacios métricos, más generalmente primeros espacios contables, los dos son equivalentes).

O Empalador de Cabras

Ahora veo que esta es la gran cuestión de nuestro desacuerdo, cuál es la definición de convergencia que está considerando.

daniel pescador

No.

x_{n} \to x

$x_n \to x$ si cada barrio de

x

$x$ contiene todos menos un número finito

x_{n}

$x_n$ . De lo contrario, tendrías

(- 1)^{n} \to 1

$(-1)^n \to 1$ .

O Empalador de Cabras

Pido disculpas por mi ignorancia, pero no entiendo tu punto, quiero decir por qué la "metrizabilidad" es tan importante

daniel pescador

La metrizabilidad, o primera contabilidad, es importante porque implica que puede extraer una subsecuencia que converge en un punto de acumulación de toda la secuencia. En general, eso no es posible. Y eso sucede aquí. La secuencia

(f_{n})

$(f_n)$ tiene puntos de acumulación, pero no tiene subsecuencia convergente.

O Empalador de Cabras

@DanielFischer ¿Puede darme un ejemplo donde sucede esto, pero es más simple que el ejemplo anterior? O simplemente una referencia. Gracias por las explicaciones.

Respuestas (1)

Compacidad débil* de la bola unitaria

Hay una prueba en el libro de Lang, Real and Functional Analysis, books.google.com.br/books/about/… en la página 33 que dice lo contrario
La compacidad implica compacidad secuencial en espacios metrizables. Pero la topología débil* en $X^*$ no es metrizable en general (en particular, si $X$ es Banach e infinito dimensional).
Sea X un conjunto compacto y $(x_n)$ una sucesión infinita, supongamos lo contrario, es decir, que $(x_n)$ no tiene punto de acumulación. Entonces para cada $x\in X$ hay un relincho. $U_x$ de $x$ pero que contiene sólo un número finito de elementos de $\{x_n\}$ . La familia $\{U_x\}$ cubrir $X$ , pasando a una subcubierta finita $\{U_1,\ldots,U_n\}$ concluimos que el conjunto de los términos de $(x_n)$ debe ser finito. ¡Contradicción!
Que una secuencia tenga un punto de acumulación es estrictamente más débil que que tenga una subsecuencia convergente (en general; para espacios métricos, más generalmente primeros espacios contables, los dos son equivalentes).
Ahora veo que esta es la gran cuestión de nuestro desacuerdo, cuál es la definición de convergencia que está considerando.
No. $x_n \to x$ si cada barrio de $x$ contiene todos menos un número finito $x_n$ . De lo contrario, tendrías $(-1)^n \to 1$ .
Pido disculpas por mi ignorancia, pero no entiendo tu punto, quiero decir por qué la "metrizabilidad" es tan importante
La metrizabilidad, o primera contabilidad, es importante porque implica que puede extraer una subsecuencia que converge en un punto de acumulación de toda la secuencia. En general, eso no es posible. Y eso sucede aquí. La secuencia $(f_n)$ tiene puntos de acumulación, pero no tiene subsecuencia convergente.
@DanielFischer ¿Puede darme un ejemplo donde sucede esto, pero es más simple que el ejemplo anterior? O simplemente una referencia. Gracias por las explicaciones.

daniel pescador · Answer 1

Compacidad no implica compacidad secuencial.

La compacidad implica que toda sucesión tiene un punto de acumulación, lo que equivale a la compacidad contable [toda cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita]. Pero, en general, una secuencia que tiene puntos de acumulación no implica que la secuencia tenga una subsecuencia convergente. Se necesitan hipótesis adicionales, por ejemplo, la primera contabilidad del espacio para tener esa implicación.

Un ejemplo de un espacio que es compacto pero no secuencialmente compacto es, como se muestra en el ejemplo, la bola unitaria cerrada de $(\ell^\infty)^\ast$ en los débiles $^\ast$ topología

Un ejemplo quizás más fácil de visualizar es un producto de suficientes copias de $\{0,1\}$ . (Cualquier ejemplo debe ser algo difícil de visualizar, ya que los espacios fáciles de visualizar tienen una fuerte tendencia a ser primero contables).

Dejar $\mathscr{P}(\mathbb{N})$ denota el conjunto potencia de $\mathbb{N}$ , y $X = \{0,1\}^{\mathscr{P}(\mathbb{N})}$ (eso depende de la denominación de los índices $\{0,1\}^{\mathbb{R}}$ , pero tomando $\mathscr{P}(\mathbb{N})$ hace que sea más fácil definir una secuencia sin subsecuencias convergentes). Definir la secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en $X$ por

{pag}_{METRO} (X_{norte}) = {\begin{cases} 0 & , norte \notin METRO \\ 0 & , norte \in METRO y tarjeta {metro \in METRO : metro < norte} incluso \\ 1 & , norte \in METRO y tarjeta {metro \in METRO : metro < norte} extraño, \end{cases}

$p_M(x_n) = \begin{cases} 0 &, n \notin M\\ 0 &, n\in M \text{ and } \operatorname{card} \{m\in M : m < n\} \text{ even}\\ 1 &, n\in M \text{ and } \operatorname{card} \{ m\in M : m < n\} \text{ odd},\end{cases}$

dónde $p_M \colon X \to \{0,1\}$ es la proyección de coordenadas. Entonces $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ no tiene subsecuencias convergentes. Por si $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ es una subsecuencia, considere el conjunto $M = \{ n_k : k\in\mathbb{N}\}$ . Entonces $p_M(x_{n_k})$ es $0$ incluso para $k$ y $1$ por impar $k$ (si sigues la convención $0\notin \mathbb{N}$ , cambiar pares e impares), por lo que $(x_{n_k})$ no es convergente.

Si $E$ es un espacio normado, entonces la bola unitaria cerrada de $E^\ast$ es compacto en lo débil $^\ast$ topología por el teorema de Banach-Alaoglu, y bajo algunas condiciones en $E$ también es secuencialmente compacto.

Si $E$ es separable, entonces la topología del subespacio inducida en la bola unitaria cerrada de $E^\ast$ por los débiles $^\ast$ topología es metrizable (Nota: La débil $^\ast$ topología en $E^\ast$ es entonces generalmente no metrisable en sí mismo), por lo tanto, la bola unitaria cerrada de $E^\ast$ entonces es débil $^\ast$ -secuencialmente compacto.
Si $E$ es reflexiva, la bola unitaria cerrada de $E^\ast$ es débil $^\ast$ -secuencialmente compacto.

$\ell^\infty$ no es separable ni reflexivo.

Otra condición que quizás valga la pena mencionar es que la bola unitaria de $X^*$ es débil* secuencialmente compacto si $X^*$ no contiene una copia isomórfica de $\ell_1$ . Esto se sigue de Rosenthal $\ell_1$ -Teorema (Un espacio de Banach $X$ no puede contener una copia isomórfica de $\ell_1$ si y sólo si toda sucesión acotada en $X$ tiene una subsecuencia de Cauchy débil).

Compacidad débil* de la bola unitaria

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david mitra

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daniel pescador

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daniel pescador

david mitra

¿Cuál es la compactación real de la línea real?

¿Es un intervalo real cerrado y acotado un espacio de Hausdorff localmente compacto?

Demuestre que AAA es denso si y solo si cualquier conjunto abierto no vacío en XXX tiene una intersección con AAA

Para funciones holomorfas, si {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f uniformemente en conjuntos compactos, entonces lo mismo es cierto para las derivadas.

¿Cuál es la relación entre los espacios de Hausdorff localmente compactos y los espacios métricos separables completos?

Subespacio denso del espacio de funciones que se desvanece en el infinito

problema 4, cap. 4 en Baby Rudin: una imagen continua de un subconjunto denso es denso en el rango.

Si cada métrica en un conjunto X es equivalente a la métrica discreta, ¿podemos decir que X es un conjunto finito?

¿Continuo f:R→Rnf:R→Rnf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n con imagen densa es sobreyectivo?

El producto cartesiano de dos espacios métricos completos es completo