Bonitos ejemplos de grupos que obviamente no son grupos.

Álgebra homológica. Dejar$A,B$ser grupos abelianos (o más generalmente objetos de una categoría abeliana) y considerar el conjunto de clases de isomorfismos de grupos abelianos$C$junto con una secuencia exacta$0 \to B \to C \to A \to 0$( extensiones de$A$por$B$). Resulta que este conjunto tiene una estructura de grupo canónica (¿no es sorprendente?), a saber, la suma de Baer , ​​y que este grupo es isomorfo a$\mathrm{Ext}^1(A,B)$. Esto también es muy útil para clasificar extensiones para aplicaciones específicas.$A$y$B$, ya que$\mathrm{Ext}$tiene dos sucesiones exactas largas. Para más detalles, véase el libro de Weibel sobre álgebra homológica, Capítulo 3. De manera similar, muchas obstrucciones en las teorías de deformación están codificadas en ciertos grupos abelianos.

Teoría de juegos combinatorios. Un juego de dos personas se llama combinatorio si no hay azar y se cumple la condición final, de modo que en cada caso uno de los dos jugadores gana. Cada jugador tiene un conjunto de movimientos posibles, cada uno de los cuales da como resultado un nuevo juego. Existe una noción de juegos combinatorios equivalentes. Resulta que las clases de equivalencia de los juegos combinatorios se pueden convertir en un grupo (grande). el juego del cero$0$es el juego donde no hay movimientos disponibles. Un movimiento en la suma$G+H$de dos juegos$G,H$es solo un movimiento en exactamente uno de$G$o$H$. el inverso$-G$de un juego$G$es aquel en el que se intercambian las posibles jugadas de los dos jugadores. La ecuacion$G+(-G)=0$requiere una prueba. Un subgrupo importante es la clase de juegos imparciales, donde los mismos movimientos están disponibles para ambos jugadores (o equivalentemente).$G=-G$). Esta estructura extra ya es suficiente para resolver muchos juegos combinatorios básicos, como Nim . De hecho, uno de los primeros resultados de la teoría de juegos combinatorios es que el (gran) grupo de juegos combinatorios imparciales es isomorfo a los números ordinales$\mathbf{On}$con cierta ley de grupo$\oplus$, llamado Nim-sum (diferente de la suma ordinal habitual). Esta identificación viene dada por el número . Esto hace posible reducir los juegos complicados a otros más simples, de hecho, en teoría, a un juego trivial de Nim de una pila. Incluso la restricción a números ordinales finitos da una ley de grupo interesante sobre el conjunto de números naturales$\mathbb{N}$(ver la respuesta de Jyrki). Todo esto se puede encontrar en el fantástico libro Winning Ways... de Conway, Berlekamp, ​​Guy, y en On Numbers and Games de Conway . Se puede encontrar una introducción más formal en este artículo de Schleicher, Stoll. Allí también aprendes que (ciertos) juegos combinatorios en realidad constituyen un campo (grande) totalmente ordenado, que contiene tanto los números reales como los números ordinales. No podrías haber adivinado esta rica estructura a partir de su definición, ¿verdad?

Topología algebraica. Si$X$es un espacio basado, el conjunto de clases de homotopía de mapas puntiagudos$S^n \to X$tiene una estructura de grupo; este es el$n$º grupo de homotopía $\pi_n(X)$de$X$. Para$n=1$la estructura del grupo es bastante obvia, ya que podemos componer caminos e ir caminos hacia atrás. Pero a primera vista no es obvio que podamos hacer algo así en dimensiones superiores. Esencialmente, esto se reduce a la estructura de cogrupo de$S^n$. Hay una buena demostración geométrica de que$\pi_n(X)$es abeliano para$n>1$.

El conjunto de estructuras exóticas diferenciables en el$n$-esfera en cualquier dimensión dada es un grupo bajo la operación de suma conectada, siendo la esfera estándar el elemento de identidad. ¡No es del todo obvio que esto forma un grupo! Por ejemplo, en la dimensión 7, este grupo es isomorfo a$\mathbf{Z}/28$.

Me sorprendió aprender acerca de los grupos de curvas elípticas . Tu arreglas constantes$a$y$b$tomar el conjunto$S$de puntos en la esfera de Riemann (es decir, el plano complejo más un punto en el infinito) de la forma

Me sorprendió la primera vez que vi el grupo de funciones aritméticas unitarias bajo la convolución de Dirichlet. Las funciones aritméticas son funciones$f:\mathbb{N}\rightarrow F$, dónde$F$puede ser cualquier campo (pero normalmente$\mathbb{C}$). la operacion es

El grupo de Brauer de un campo obviamente no es un grupo de dos maneras: primero, no es obvio que el grupo sea cerrado bajo su operación de grupo, y luego aún no es obvio que existan inversas.

1- Análisis de Fourier : el conjunto de series de Fourier absolutamente convergentes que no desaparecen es un grupo bajo multiplicación puntual.

El elemento neutro es la función constante igual a$1$. Y la estabilidad del producto se deriva del producto de Cauchy. Estos son sencillos. La existencia de inversas es menos obvia.

Lema de Wiener: si$f(t)=\sum_{\mathbb{Z}}c_ne^{int}$es absolutamente convergente, es decir$\sum_{\mathbb{Z}}|c_n|<\infty$, y no desaparece, entonces$\frac{1}{f(t)}$es también la suma de una serie de Fourier absolutamente convergente.

Esto tampoco es tan difícil. Pero fue, y sigue siendo, llamativo. Puedes encontrar una prueba aquí . Menos elemental, pero mucho más interesante, la demostración de Gelfand que despertó el interés por las álgebras de Banach. De hecho, las series de Fourier absolutamente convergentes forman un álgebra de Banach unitaria conmutativa con espectro$[0,2\pi]$. Más precisamente, los personajes son las evaluaciones puntuales.$f\longmapsto f(t_0)$. La invertibilidad de los elementos que no desaparecen es entonces obvia a través de la representación de Gelfand .

2- Álgebras de von Neumann: para un tipo$\rm{II}_1$factor de álgebra de von Neumann $M$, es decir, un espacio de probabilidad no conmutativo de dimensión infinita, podemos dar sentido a$t\times t$matrices sobre$M$por cada real$t>0$. Esto da lugar a otro tipo$\rm{II}_1$factor$M^t$.

En su trabajo seminal que se remonta a la década de 1930, Murray y von Neumann introdujeron el grupo fundamental de un$\rm{II}_1$factor$M$

$$\mathcal{F}(M):=\{t>0\;;\;M^t\simeq M\}.$$ No es difícil, pero no obvio per se, ver que este es un subgrupo de $(\mathbb{R}^+,\;\cdot\;)$.

Uno de sus sorprendentes resultados de clasificación dice que, salvo isomorfismo, existe un tipo único de dimensión aproximadamente finita$\rm{II}_1$factor$R$. En consecuencia, se sigue que

Por otro lado, Connes probó en 1980 que el grupo fundamental de$L(\Gamma)$es contable cuando$\Gamma$tiene la propiedad de Kazhdan (T) . Pero permaneció abierto durante algún tiempo si el grupo fundamental de un$\rm{II}_1$factor podría ser trivial.

En un avance más reciente, Popa exhibió en 2001 tales ejemplos. En particular, mostró que

Finalmente, tenga en cuenta que la teoría de la probabilidad libre de Voiculescu permitió a Radulescu demostrar que

No es obvio que la colección de números enteros mod$p$, excluyendo el coset de$0$, formar un grupo bajo la multiplicación. En particular, no es obvio que existan inversas. Por lo general, usa el algoritmo euclidiano para eso.

Después de un poco de estudio, podría quedar claro que lo siguiente es un grupo. Pero no parecía obvio la primera vez que lo vi: la colección de todas las transformaciones lineales fraccionarias de$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$a sí mismo, con fórmulas

¿Puede ser que los grupos de nimbers se ajusten a la factura? El conjunto subyacente es el de los enteros no negativos$\mathbb{N}$. La operación de grupo (indicada por$+$) se define recursivamente de la siguiente manera

Ahora, resulta que esta operación es solo la suma NIM (suma en base dos sin acarreo). Eso no es del todo obvio, aunque tampoco es demasiado difícil de ver.

Resulta que los conjuntos de la forma$S_n:=\{x\in\mathbb{N}\mid x<2^n\}$son subgrupos. Además, si$n$es una potencia de dos, este conjunto también tiene una multiplicación que lo convierte en un campo. La construcción se debe a Conway. Consulte esta página wiki para obtener más información.

Aquí hay unos ejemplos:

1. El grupo de clase ideal de un campo numérico.$K$. No es obvio que este sea un grupo, porque por ejemplo para poder invertir un ideal se requiere la definición de un ideal invertible y mostrar que$\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = \mathcal{O}$. Esta última parte no es trivial y, si la memoria no me falla, debes invocar el lema de Nakayama.

2. El grupo fundamental de un espacio topológico.$X$- No es trivial mostrar que la operación de tomar productos de bucles es asociativa. Cuando tomé una clase de este tipo, mi profesor hizo algunos dibujos bonitos para mostrar homotopías entre$f \ast (g \ast h)$y$(f \ast g) \ast h$, pero no me convenció del todo.

¿Qué pasa con el conjunto de paquetes de líneas sobre una variedad? Esto forma un grupo, ya sea que sus paquetes de líneas sean reales o complejos. La diferencia entre ellos también es muy interesante, ya que uno es de 2 torsiones y el otro puede estar libre de torsiones.

Aquí la operación de grupo es un producto tensorial: demostrar que es una operación asociativa cerrada es bastante fácil. El paquete trivial es la identidad. Ah, pero ¿cuáles son los inversos?

Aquí hay un ejemplo que es un poco diferente, a saber, uno que aparece como un subgrupo de otro grupo, pero donde no es obvio que sea un subgrupo.

Dejar$G$ser un grupo finito con un subgrupo propio no trivial$H$tal que para todos$g\in G\setminus H$tenemos$H\cap H^g = \{1\}$(Tal$H$se llama complemento de Frobenius en$G$y si$G$tiene un complemento de Frobenius, se llama grupo de Frobenius).

Definir

Después$N$es un subgrupo de$G$, pero no tengo conocimiento de una prueba de esto que no involucre la teoría del carácter (para una prueba, consulte, por ejemplo, el Teorema 7.2 en la Teoría del carácter de los grupos finitos de Isaacs).
($N$se llama núcleo de Frobenius de$G$y es de hecho un complemento normal de$H$).

Aquí se menciona otro ejemplo :

Dejar$G$ser un grupo finito de orden$n$y$S \subset G$ser cualquier subconjunto. Después

$$S^n = \{s_1s_2 \cdots s_n \mid s_1, s_2, \dots, s_n \in S\}$$ es un subgrupo de $G$.

Un ejemplo exótico puede ser el grupo de cubos de rubik con movimientos de cubo.

Siempre encontré el hecho de que los grupos de trenzas son grupos bastante interesantes. Los elementos del grupo son todas las diferentes trenzas que puedes hacer con, digamos,$n$instrumentos de cuerda. La operación de grupo es la concatenación. La identidad es la trenza desenredada. Pero el hecho de que existan inversas no es obvio.

El radical de Jacobson .

Tome un anillo no conmutativo$R$con 1. Cualquier ideal izquierdo está contenido en otro o es máximo . Los elementos comunes a todos los ideales maximalistas de izquierda, es decir,

1. Es un grupo abeliano porque es un ideal (hereda la aditividad de grupo de$R$, Bastante obvio).
2. Es grupo bajo composición circular . $x \circ y = x + y - xy$, con$0\in R$como la unidad del grupo (no tan obvio).

Los grupos de pilas de arena tienen la curiosa característica de que el elemento de identidad es muy complicado. Consulte "¿Qué es un montón de arena?" (Levine, Lionel y Propp, James. Notices of the AMS , 57 #8 (septiembre de 2010) págs. 976–979).

No es obvio a partir de su definición que los grupos KK en realidad tengan inversas.

Creo que uno de los resultados más sorprendentes de este tipo es el siguiente (y podría ser muy ingenuo): Kervaire y Milnor demostraron que las clases de difeomorfismo de esferas exóticas orientadas forman los elementos no triviales de un grupo abeliano finito bajo la suma conectada para dimensión no igual a$4$.

Similar a cómo convertimos los números naturales en el grupo aditivo de los enteros, y el grupo de los enteros en el grupo multiplicativo de los racionales, sea$A$sea ​​un conjunto con una operación abeliana y una identidad (monoide abeliano). Para$A \times A$, declarar$(a_1, b_1) \tilde{} (a_2, b_2)$si hay un$c \in A$tal que$a_1 + b_2 +c = a_2 + b_1 + c$.

Dos ejemplos :

El conjunto de números algebraicos es un cuerpo y no es baladí probar que su suma y multiplicación cumplen para dar dos grupos, en una mano. En el otro, considere la construcción del grupo Grothendieck.

Si$G$es un grupo de Lie, con operador de multiplicación$m:G\times G\rightarrow G$e inversa$i:G\rightarrow G$, después$TG$es también un grupo de Lie, con operador de multiplicación$Tm:TG\times TG\rightarrow TG$e inversa$Ti:TG\rightarrow TG$. Para ver esto, use la notación obvia de que para$v_g\in T_g G$y$h\in G$,$v_g\cdot h = T_g R_h(v_g)$, dónde$R_h:G\rightarrow G$es la multiplicación correcta por$h$, y de manera similar para$h\cdot v_g$(Estas operaciones se muestran fácilmente como asociativas). Entonces para$g,h\in G$y$\xi,\zeta\in \mathfrak{g}$, el álgebra de mentira de$G$,

Bueno, si quieres ser más visual, puedes optar por grupos de simetría y grupos de papel tapiz.

Dejar$k$ser un campo, y dejar$A$ser un tipo finito$k$-álgebra.

Considere las clases de isomorfismo de los complejos de dualización sobre$A$.

Dados dos complejos dualizantes$R$y$S$, definen su "producto" como la clase de isomorfismo del complejo de cohomología de Hochschild de su producto tensorial sobre$k$:

$R\cdot S := RHom_{A\otimes_k A}(A,R\otimes_{k} S)$.

Entonces no está claro que:

1. El resultado es un complejo de dualización.
2. Que esta operación es asociativa.
3. Que esta operación tiene una inversa.

Sin embargo, todo esto resulta ser cierto. Consulte la Sección 4 de http://arxiv.org/abs/1401.6678

Este trabajo comienza describiendo, en su resumen, una operación de grupo sobre el conjunto de distribuciones conjuntas de$k$variables aleatorias en un espacio de probabilidad con propiedades dadas. Este grupo se denota como

Un subsemigrupo de un grupo no es necesariamente un grupo, pero un subsemigrupo no vacío de un grupo finito es un grupo.

Aquí había un ejemplo interesante para mí:

Dejar$X_1,X_2$ser compacto$n$-variedades con contorno. Decimos que son cobordantes si existe un$n+1$variedad dimensional con frontera tal que$\partial Y=X_1 \sqcup X_2$(esta es una relación de equivalencia que denotaremos por$\sim$.

En este caso, dejamos

Tal vez como era de esperar, la identidad es$[\emptyset]$, pero aquí está la parte extraña:$[X \sqcup X]=\partial (M \times [0,1])$así que de hecho,$[X]+[X]=[\emptyset]$, y cada elemento es su propio inverso (idempotente). Realmente, podemos convertir todo esto en un$\mathbb Z_2$espacio vectorial, y uso el producto cartesiano como una estructura multiplicativa para obtener un álgebra graduada, pero creo que los grupos son lo suficientemente interesantes por derecho propio.

Enumeraré a continuación los primeros de wikipedia:, comenzando con$\mathcal{R}_1$y aumentando de dimensión:

El conjunto de máquinas de Turing reversibles forma un grupo: https://arxiv.org/pdf/1603.08715.pdf

Pero, dado que definen las máquinas de Turing no de la manera clásica, sino de manera que la composición es una operación y luego toman las reversibles, no parece que sea tan difícil ver que es un grupo.

¡Me parece muy interesante, tú!

En la página 6-7 de las formas cúbicas de Yuri I. Manin se da un ejemplo de grupo abeliano sobre el conjunto de puntos no singulares de una curva cúbica irreducible en un plano proyectivo (sobre un campo arbitrario).

Un conjunto de permutaciones cerradas bajo composición.

Estos fueron históricamente lo primero que se llamó grupos, cada álgebra de grupos está instanciada por un conjunto de permutaciones cerradas bajo composición y la mayoría de los teoremas que ves en los libros de teoría de grupos se han desarrollado para comprender mejor las permutaciones cerradas bajo composición y su relación con la resolución de ecuaciones algebraicas. .

Dado que la asociatividad no es inmediata de verificar para estructuras finitas cuya tabla de Cayley se da, probablemente no sea obvio que magmas como este o este otro sean grupos. En cambio, es más fácil captar a primera vista que ambos tienen identidad o que ninguno de estos dos es conmutativo.